Polynomiální integrabilita a superintegrabilita s elektromagnetickým polem ve speciální relativitě

Abstract

Tato práce se zabývá speciálně relativistickou polynomiální (super)integrabilitou jednočásticových systémů s elektromagnetickým polem v hamiltonovské formulaci. Nejprve shrnuje různé možnosti hamiltonovského popisu, tj. Diracovy formy 3+1 rozštěpení prostoročasu vs. kovariantní popis, a dosavadní poznatky o problematice. Dále určuje obecný tvar integrálů pohybu (IP) 1. a 2. řádu v hybnostech a porovnává jej s nerelativistickou analogií. Na základě této struktury plně klasifikuje a explicitně určuje systémy integrabilní v prvním řádu ve 2 a 3 prostorových rozměrech. V případě 2 prostorových rozměrů též hledá případy s dodatečnými lineárními IP a tyto dále analyzuje (je konstruována nerelativistická limita, v případě maximálního možného počtu IP trajektorie). Klasifikuje a určuje též systémy, které mají v ortogonálních souřadnicích separabilní Hamilton-Jacobiho rovnici ve 2 prostorových rozměrech, tj. důležitou podmnožinu systémů integrabilních ve 2. řádu. U nich hledá speciální případy mající dodatečné lineární IP a tyto opět dále analyzuje.

This thesis deals with special relativistic polynomial (super)integrability of one-particle systems with electromagnetic field in Hamilton formulation. First, different possibilities of Hamiltonian description, i.e. Dirac forms of 3+1 splitting of spacetime vs. covariant description, are summarized and the existing knowledge of the problem is discussed. Then, the general form of the 1st and 2nd order integrals of motion (IoMs) in momenta is determined and compared with the non-relativistic analogy. Based on this structure, first-order integrable systems in 2 and 3 spatial dimensions are fully classified and explicitly expresed. In 2 spatial dimensions, cases with additional linear IoMs are also found and these are further analyzed (non-relativistic limit is construed, in the case of maximum possible number of IoMs trajectories are founded). Systems which have separable Hamilton-Jacobi equation in orthogonal coordinates in 2 spatial dimensions, i.e. an important subset of systems integrable in 2nd order, are also classified and expressed. For these, cases having additional linear IoMs are found and these are again analyzed further.