Schrödingerovy operátory s nehermitovskými maticovými potenciály

Abstract

K formulaci nehermitovské kvantové fyziky je třeba studovat matematický aparát pro nesamosdružené operátory. Konkrétně se zaměříme na Schrodingerův operátor s nehermitovskými maticovými potenciály. Uvažovat maticové potenciály je obzvláště důležité při zahrnutí elektromagnetického pole, jak můžeme vidět na Pauliho operátoru. Hlavním úkolem je korektně definovat Schrodingerův operátor jako součet volného Hamiltoniánu a potenciálu. Bude zajištěna stabilita esenciálního spektra. Nakonec se budeme věnovat spektru bodovému. Odvodíme odhad na vlastní čísla v první dimenzi a vyslovíme podmínku na potenciál, která vylučuje existenci bodového spektra ve třetí dimenzi.

To formulate non-Hermitian quantum physics, it is necessary to study the mathematical apparatus for non-self-adjoint operators. Matrix-valued potentials play a role especially in involving the interaction of a particle spin with an electromagnetic field, as can be seen in the Pauli operator. Specifically, we focus on the Schrodinger operator with non-Hermitian matrix-valued potentials. The main task is to correctly define this operator as the sum of the free Hamiltonian and the potential. We derive conditions for the potential to ensure the stability of the essential spectrum. Finally, we derive an estimate of the eigenvalues in the first dimension and state a condition for the potential that excludes the existence of a point spectrum in the third dimension.