MODELOVÁNÍ NEPRUŽNÝCH MATERIÁLŮ INSPIROVANÉ KVAZIKONTINUEM

Abstract

Metoda kvazikontinua je hojně využívaná technika víceúrovňového modelování, která spočívá v použití přesného, ale výpočetně náročného atomistického nebo částicového modelu pouze v místech, kde je to vyžadováno, v kombinaci s jednoduchým spojitým modelem ve zbytku oblasti. Tato metoda byla původně navržena v roce 1996 pro zjednodušení velkých soustav atomů interagujících pomocí konzervativních potenciálů dlouhého dosahu. V první části této práce je metoda kvazikontinua rozšířena na nepravidelné mřížky s pružnými a pružnokřehkými osovými interakcemi. Navrhované rozšíření využívá efektivní tenzor tuhosti, který je sestaven na základě geometrie jednotlivých nepravidelných vazeb. V oblasti, kde je aplikováno zjednodušení, jsou následně tyto vazby reprezentovány pomocí homogenizovaného materiálů. Je navrženo celkem pět homogenizačních přístupů, které uvažují různý stupeň zjednodušení. Další část práce je zaměřena na adaptivní algoritmus pro metodu kvazikontinua. Nejprve je představeno adaptivní schéma pro modelování nepravidelných mřížek s pružnokřehkými vazbami. Pro toto schéma je použito adaptivní kritérium založené na identifikaci porušených vazeb na základě jejich maximální dosažené deformace. Dále jsou navržena tři různá adaptivní kritéria pro pravidelné atomární mřížky. Tato kritéria využívají (i) indikátor typu Zienkiewicz–Zhu aplikovaný na deformační gradient, (ii) lokální energii vazeb v okolí atomu a (iii) lokální narušení pravidelnosti mřížky. V další části je metoda kvazikontinua pro nepravidelné mřížky, která byla prezentována v první části, dále rozšířena pro pružnoplastické vazby. Zde je použité zjednodušení inspirováno myšlenkou pocházející z teorie mikroploškového materiálu a analogie mezi nepravidelným částicovým modelem a spojitým mikroploškovým modelem je využita k odvození mikroploškového sumačního pravidla pro metodu kvazikontinua. Dále je navržen adaptivní indikátor využívající hodnoty deformace na jednotlivých mikroploškách. Poslední část práce představuje detailní porovnání metody kvazikontinua s další třídou víceúrovňových technik pro modelování materiálů. V této třídě tzv. homogenizačních metod je nejprve diskrétní materiál nahrazen odpovídajícím spojitým modelem, ve kterém jsou následně důležité materiálové jevy modelovány pomocí speciálních dodatečných obohacení. Porovnání přesnosti, výkonosti a teoretického hlediska těchto dvou odlišných metodologií je provedeno pro dva různé příklady s mikrostrukturou jak na mikro měřítku, tak i na středním měřítku. Přesnost, efektivita a jednotlivá specifika všech metod navržených v této práci jsou vyhodnoceny na základě porovnání s přesným částicovým modelem. Pro tento účel byla použita celá řada příkladů, které odhalují jejich jednotlivé přednosti a slabiny.

The QuasiContinuum (QC) method is a concurrent multiscale technique combining the accurate but expensive atomistic/particle description only in regions where it is required with a cheap continuum approximation elsewhere. The QC method was originally introduced in 1996 to simplify large atomistic systems with long-range conservative interaction potentials. In the first part of the thesis, the QC method is extended to irregular lattices with elastic and elastic-brittle axial interactions. In the proposed extension, an effective stiffness tensor is assembled from geometry of the lattice to represent the homogenized irregular lattices in the region of low interest. Five different homogenization-based QC approaches with various levels of simplification are proposed. The next part of the thesis is focused on adaptive algorithms for QC simulation. Firstly, an adaptive scheme for modeling of elastic-brittle disordered lattices is introduced with a refinement criterion based on identification of broken links according to their maximal strain. Then, three different adaptive refinement indicators for regular atomic lattices in the classical QC method are proposed. The proposed indicators are based on (i) the Zienkiewicz–Zhu criterion (used for the deformation gradient), (ii) local atoms' site energy, and (iii) local lattice disregistry. In the next part, the QC approaches for elastic irregular lattices, introduced in the first part, are further extended to plastic interactions. For that purpose, certain ideas of the microplane theory are adopted and analogy between the disordered particle model and microplane model is used to derive a microplane-based summation rule for the QC method. Furthermore, an additional refinement criterion based on the strain of individual microplanes is proposed for adaptive simulations. The final part of the thesis provides a thorough comparison of the QC method with another class of multiscale techniques. In this class of so-called homogenization-based methods, first the discrete system is homogenized into an equivalent continuum formulation, into which the main phenomena are added through specific enrichments. Comparison of the two different modeling philosophies in terms of their accuracy, performance, and theoretical framework is realized for two examples with microstructures at the nano- and meso-scale level. Accuracy, efficiency, and specific properties of all methods proposed in this thesis are evaluated by comparison of results with the fully resolved particle model in various numerical examples that reveal their strengths and weaknesses.