Robustnost Turingova systému

Abstract

Předložená práce se zabývá Turingovým modelem, jedním z mechanismů popisující samovolné prostorové uspořádání, a jeho robustností, tj. mírou závislosti výsledných vzorů na malých změnách vstupních parametrů. Jsou provedeny dvě studie zkoumající vliv 1) konstatní advekce a 2) prostorové závislosti v kinetice. V prvním případě jsou uvažovány dva systémy mimo Turingův režim doplněné o několik okrajových podmínek; pro analýzu stability je využito Sturm-Liouvilleovy teorie a podmínky pro vznik vzoru prostřednictvím velikostí oblasti poháněné nestability jsou odvozeny z explicitního výpočtu vlastních čísel. V druhém případě je analyzován reakčně-difuzní systém s parametrem lineárního členu kinetiky ve formě skokové funkce a podmínky pro vznik vhodných vzorů jsou získány pomocí pečlivé kombinace analytických a numerických přístupů. Je ukázáno, že i malá advekce může podstatně změnit chování systému, a to v závislosti na volbě okrajových podmínek; a že přítomnost stability nebo nestability v Turingových modelech je lokální vlastností pro po částech konstantní parametry kinetik, a tedy že malá prostorová závislost tohoho tvaru významně nemění vznik Turingových vzorů.

The presented work deals with the Turing model, one of the possible mechanisms describing the self-organisation, and its robustness, i.e. the amount of a dependence of the resulting patterns on small changes in input parameters. Two studies examining the effect of 1) constant advection and 2) spatial dependence in kinetics are performed. In the former case, two systems outside Turing regime supplemented by various boundary conditions are considered, the Sturm-Liouville theory is incorporated into stability analysis and the conditions for pattern emergence via domain-size-driven instability are deduced from explicit calculation of eigenvalues. In the latter case, the reaction-diffusion system with a step function as a parameter at linear kinetics term is analysed and conditions for plausible pattern formation are obtained using a careful combination of analytical and numerical approaches. It is shown that even a small advection can substantially change a behaviour of the system depending on the choise of the boundary conditions; and that the presence of stability or instability in Turing models is a local property for piece-wise constant kinetic parameters and thus, small spatial dependency of such a form does not significantly change the emergence of Turing patterns.