Kryptograficky slabé eliptické křivky a specializované útoky na ECDLP

Abstract

Problém diskrétního logaritmu je základem pro množství kryptografických systémů současnosti. Není totiž znám algoritmus schopný řešit ho efektivně v libovolné grupě. Body eliptické křivky nad konečným tělesem jsou často využívány jako grupa, v níž je tento problém implementován. Smartův útok nabízí jeho řešení sice jen na anomálních eliptických křivkách, ale za to s lineární časovou složitostí. V této práci rozebereme proč a jak Smartův útok funguje, implementujeme ho v jazyce SAGE a měřením ověříme jeho časovou složitost v porovnání se složitostí algoritmů Baby-step giant-step a Pollard's rho, které lze použít v libovolné grupě.

Many of today's cryptosystems are based on the discrete logarithm problem. There is no known algorithm that is able to solve it quickly in an arbitrary group. Often a group of points of an elliptic curve is used to implement the problem in. Although it works only for anomalous elliptic curves, Smart's attack solves the problem with linear time complexity. In this thesis we describe how Smart's attack works and we implement it in SAGE software. In the end we present a measurement comparing its time complexity to time complexity of Baby-step giant-step and Pollard's Rho - algorithms that can solve the discrete logarithm problem in an arbitrary group.