Wang dláždice pro modelování heterogenních materiálů

Abstract

Koncept Wangova dláždění, jehož aplikace v úlohách spojených s modelováním materiálů se stochastickou mikrostrukturou jsou řešeny v rámci předkládané disertační práce, představuje zobecnění v současné době hojně využívaného popisu materiálové mikrostruktury pomocí periodické jednotkové buňky (PUC). Nahrazení této buňky sadou více modulů s předem definovanou návaznosti, tzv. Wangových dlaždic, umožňuje velmi efektivně vytvářet virtuální vzorky materiálové mikrostruktury o libovolné velikosti. Tento koncept je především zajímavý pro všechny aplikace, které řeší vliv náhodnosti v mikrostruktuře na odezvu zkoumaného materiálu. První část disertační práce se věnuje metodám návrhu samotných dlaždic. První metoda kombinuje již existující přístupy počítačové grafiky a statistický popis materiálové mikrostruktury. Jednotlivé dlaždice vznikají spojením částečně se překrývajících poskytnutých materiálových vzorků. Ačkoli je tento přístup výpočetně velmi efektivní, není schopen dobře postihnout materiály, jejichž mikrostruktura obsahuje tenké filamenty. Pro tyto případy je vhodná druhá metoda, která upravuje existující způsob tvorby komplexních pěnových mikrostruktur vyvinutý pro periodickou jednotkovou buňku a rozšiřuje jej tak, aby zahrnoval zobecněnou periodicitu vyskytující se v konceptu Wangova dláždění. Tato metoda využívá implicitního popisu materiálové mikrostruktury založeného na úrovňových množinách k urychlení standardních částicových modelů a následné tvorbě pěnové mikrostruktury pomocí jednoduchých operací. Druhá část disertační práce řeší aplikace konceptu Wangova dláždění v úlohách výpočetní homogenizace. Prvně je tento koncept využit pro studii vhodnosti dvourozměrného prutového modelu k predikci makroskopických mechanických vlastností hliníkové pěny Alporas. Především je zde řešená otázku vlivu zjednodušení geometrie porovnáním výsledků pro modely založené na Voroného diagramu a modely, jejichž geometrie odpovídá získanému vzorku materiálu. Dále je v této části vyvinut postup pro určení velikosti representativního objemového vzorku (RVE) na základě uživatelem požadované přesnosti. Tento postup je založen na statistickém výběru a Partition teorému, který umožňuje odhadnout meze efektivní vlastnosti materiálového vzorku ze znalosti mezí určených pro jeho části. V poslední části práce je představena numerická metoda vyvinutá pro makroskopické úlohy zahrnující materiálovou mikrosturu, která byla vytvořena pomocí konceptu Wangova dláždění. Tato metoda využívá předpočítané charakteristické odezvy Wangových dlaždic na parametrické zatížení. Tyto charakteristické odezvy jsou dále kombinovány se standardní diskretizací makroskopické úlohy v rámci zobecněné metody konečných prvků, čímž vzniká vhodná aproximační báze pro danou makroskopickou úlohu.

The concept of Wang tiles, investigated in this thesis, generalizes the standard microstructural representation based on a Periodic Unit Cell. Replacing a single cell with a set of domains---Wang tiles---with predefined mutual compatibility enables an efficient generation of stochastic, arbitrarily large realizations of the compressed microstructure. The Wang tile concept thus represents a reduced geometrical model for materials with random heterogeneous microstructures, appealing to applications where multiple stochastic realizations are needed. In the first part of the thesis, two methods for designing the morphology of Wang tiles are presented. The first method modifies an existing design approach reported in Computer Graphics and supplements it with quantification via spatial statistics. The method constructs individual tiles by merging partially overlapping segments of a provided microstructural specimen. Albeit very efficient, this design method struggles with complex geometries such as foams. For these microstructures, an existing framework developed originally for Periodic Unit Cell's design is extended with the generalized periodicity constraints arising in the concept of Wang tiles. This method relies on an implicit description of the microstructural geometry via level-set fields to accelerate a standard packing algorithm and generate foam-like microstructures with simple morphing operations. The next part of the thesis is focused on concept's applications in numerical homogenization. First, the particular case of a simplified two-dimensional beam model and its suitability for predicting the effective response of Alporas foam is studied. In particular, the influence of neglecting the real geometry of foam ligaments on the overall response is investigated, comparing the values predicted for the simplified Voronoi and the real geometry. Second, a methodology for identifying the numerical Representative Volume Element size for a user-defined accuracy is developed, utilizing statistical sampling and the Partition theorem, which allows for bounding the apparent properties of a large material sample with calculations performed on a set of sub-samples. In the final part of the thesis, a numerical scheme suited for macroscale analyses with a fully resolved microstructural geometry generated with the Wang tile concept is proposed. This scheme combines pre-calculated fluctuation fields, obtained without any prior knowledge about the shape of a macroscopic domain or its loading, and the Generalized Finite Element ansatz to construct microstructure-informed reduced modes for a given macroscopic problem.