Matematické modely proudění nestlačitelné tekutiny s různými typy okrajových podmínek

Abstract

Předložená disertační práce se zabývá nejznámějšími matematickými modely proudění vazké nestačitelné tekutiny s různými typy okrajových podmínek. Úvodní část popisuje vývoj studované problematiky a shrnuje její současný stav. Práce se dále zabývá systémem stacionárních Boussinesqových rovnic se smíšenými okrajovými podmínkami. Definuje Banachův prostor X možných řešení úlohy a Banachův prostor Y možných dat úlohy. Dále zavádí operátor N:X →Y a pomocí operátorové rovnice formuluje problém. Jedním z výsledků této části je, že množina M_R všech funkcí, ve kterých je Frechetova derivace prostá a na, je hustá a otevřená a doplňková množina M_C je slabě uzavřená. Poslední část je zaměřena na systém nestacionárních Navierových-Stokesových rovnic s okrajovými podmínkami Navierova typu na omezené hladké konvexní oblasti a na nestacionární Navierovu-Stokesovu úlohu s Navierovými okrajovými podmínkami na omezené oblasti s dostatečně hladkou hranicí. V textu je dokázána podmínka pro lokální existenci silných řešení daných systémů.

The presented dissertation thesis deals with the most well-known mathematical models of flow of viscous incompressible fluid complemented by various types of boundary conditions. The introductory part describes the development of the studied problem and summarizes its current state. The thesis proceeds with the system of steady Boussinesq equations with mixed boundary conditions. The text defines Banach space X of „possible“ solutions of this problem and the Banach space Y of its data. The problem is formulated in the terms of operator equations by the means of operator N:X →Y. One of the results of this section is that the set M_R⊆X where the Frechet derivate of operator N is one-to-one and onto, is dense and open and the complementary set M_C is weakly closed. In the last part of the thesis, we focus on the system of non-steady Navier-Stokes equations with boundary conditions of Navier´s type on a bounded smooth convex domain and on the system of non-steady Navier-Stokes equations with Navier´s boundary conditions on a bounded domain with a sufficiently smooth boundary. As an original contribution, we prove a condition for the local in time existence of strong solutions of the given systems.