Mathematical Modelling of Machining Stability in the Time Domain

Abstract

This dissertation addresses the modelling of the dynamic system of a machine, tool, and workpiece subjected to the cutting process forces, with a focus on its stability. The machining instability critically restricts productivity in machining, affecting the accuracy, surface quality, and the longevity of tools and spindles. The study introduces an innovative approach to the mathematical modelling of machining dynamics. Conventionally, equations of motion and related stability conditions for dynamic systems are devised on an ad hoc basis for specific tool types and technologies, which limits broader applications such as virtual machining or digital twins. The initial section of this work introduces a generalized method for modelling cutting forces using a coordinate-free notation, which is important for establishing the equations of motion in a general way and, subsequently, stability analysis in the time domain. This notation is consistent with the physical principle of general covariance. The chapter illustrates how a more general formulation of reference frames can incorporate effects previously identified only with specific tool geometries and machining operations. The next chapter integrates the cutting force model with the dynamic response model of the structure. This integration highlights the significance of modelling effects of toolpath moving across the workpiece (or tool), particularly shown through the turning of thin-walled cylinder. It also compares methods in the frequency domain with solutions to stability equations in the time domain. The task of machining a thin-walled cylinder is also used to discuss the modelling of cutting force and the impact of rotational speed variation on stability. The last part of the dissertation proposes a method for calculating the force response of the process using a Fourier series expansion, where Fourier coefficients are derived through a surface integral over the engagement area. This approach simplifies the calculation of forces or machining stability, which is demonstrated on ball-end milling stability calculation. Composed in a cumulative format, the main body of the dissertation thoroughly discusses the theory and its implementation, while specific applications and experimental validations are presented in the three articles provided in the appendix.

Tato disertační práce se zabývá modelováním dynamického systému stroje, nástroje a obrobku zatíženého řezným procesem se zaměřením na jeho stabilitu. Nestabilita procesu kriticky omezuje produktivitu obrábění, ovlivňuje přesnost, kvalitu povrchu a životnost nástrojů a vřeten. Studie představuje inovativní přístup k matematickému modelování vazby mezi řezným procesem a strukturou při obrábění. Tradičně jsou pohybové rovnice a související podmínky stability pro dynamické systémy vytvářeny ad hoc pro specifické typy nástrojů a technologie, což omezuje aplikace ve virtuálním obrábění nebo digitálních dvojčatech stroje a procesu. Úvodní část této práce představuje zobecněnou metodu pro modelování řezných sil pomocí bezsouřadnicové notace, která je v souladu s fyzikálním principem obecné kovariance a je standardně používána v oblastech, jako je elektromagnetismus nebo mechanika kontinua. Tento přístup usnadňuje formulaci pohybových rovnic a následnou analýzu stability v časové doméně. Ukazuje, jak může obecnější formulace referenčních systémů pomoci zahrnout efekty, které byly dříve identifikovány pouze pro konkrétní geometrie nástrojů a obráběcí operace. Další kapitola integruje model řezné síly s modelem dynamické odezvy struktury. Tato integrace zdůrazňuje význam modelování efektů spojených s pohybem nástroje po obrobku, což je demonstrováno na soustružení tenkostěnného válce. Úloha obrábění tenkostěnného válce je pak využita i k diskusi modelování řezné síly a vlivu variace otáček na stabilitu v přiložených článcích. Dále porovnává metody v frekvenční doméně s řešeními rovnic stability v časové doméně. V práci je dále navržena metoda výpočtu řezné síly pomocí Fourierovy řady, kde jsou její koeficienty odvozeny pomocí plošného integrálu přes plochu opásání. Tento přístup zjednodušuje výpočet sil, respektive stability obrábění, zejména pro kulové nástroje, jak demonstruje poslední přiložený článek. Hlavní text disertace, která je sepsána v kumulativní formě, podrobně probírá teorii a její implementaci, zatímco konkrétní aplikace a experimentální ověření jsou prezentovány ve třech článcích zařazených v příloze.