Parametrizované algoritmy pro podchycování podgrafů

Abstract

V této dizertační práci se zabýváme rodinou problémů pokrývání podgrafů. Soustředíme se zejména na problém F-Subgraph Vertex Deletion (F-SVD), kde F je konečná množina souvislých grafů. V tomto problému je nám na vstup dán graf G=(V,E) a celé číslo k a naším úkolem je rozhodnout, zda existuje podmnožina S nejvýše k vrcholů grafu G taková, že G \ S neobsahuje žádný graf z F jako podgraf (a to ani jako neindukovaný podgraf). Dále se zaměřujeme na problém d-Path Vertex Cover (d-PVC), který lze vyjádřit také jako F-SVD, kde F obsahuje pouze jeden graf a to cestu na d vrcholech. Hlavním cílem této práce je návrh parametrizovaných algoritmů pro tyto problémy, zejména efektivní exaktní algoritmy, které tyto problémy řeší, a kernelizační algoritmy, což jsou časově polynomiální procedury, které pro zadanou instanci problému významně redukují její velikost. Na začátek se věnujeme problému d-PVC, pro který navrhujeme algoritmus využívající techniku iterativní komprese, který řeší daný problém v čase O(4^kn^O(1)). Pokračujeme představením kernelů s O(k^2) hranami pro případy 4-PVC a 5-PVC, které při rozumných složitostních předpokladech jsou asymptoticky optimální. K tomu přidáváme ještě obecný kernel pro d-PVC s O(k^4d^{2d+9}) hranami. Nakonec chceme znovu oživit zájem o oblast návrhu algoritmů za pomoci počítače a to tak, že ukazujeme automatizovaný postup jak generovat algoritmy založené na větvení výpočtu pro F-SVD s vybranou efektivitou. Díky tomuto postupu máme tu možnost prezentovat algoritmy se zlepšeným časem běhu pro d-PVC s 3 <= d <= 8.

In this dissertation thesis, we study the family of problems of hitting subgraphs. In particular, we focus on the F-Subgraph Vertex Deletion (F-SVD) problem, where F is a finite set of connected graphs. In this problem we are given a graph G=(V,E) and an integer k as input and the task is to decide whether there is a subset S of at most k vertices of G such that G \ S does not contain any graph from F as a subgraph (not even as a non-induced one). Further, we focus on the d-Path Vertex Cover (d-PVC) problem that can be expressed as F-SVD where F contains only a single graph---a path on d vertices. The main goal was to design parameterized algorithms for these problem, mainly efficient exact algorithms that solve the problem and kernelization algorithms---polynomial time procedures that for given problem instance significantly reduce its size. To that end, we start with the d-PVC problem and provide an iterative compression algorithm that solves the problem in O(4^kn^O(1)) time. We continue by giving kernels with O(k^2) edges for the cases of 4-PVC and 5-PVC that under reasonable complexity assumptions are asymptotically optimal. Further, we give a general kernel for d-PVC with O(k^4d^{2d+9}) edges. Last, we aim to renew interest in computer aided algorithm design by providing an automated framework for generating branching algorithms for F-SVD with desired efficiency. Using our automated framework, we are able to present algorithms with improved running times for d-PVC with 3 <= d <= 8.