Diskrétní polyharmonický operátor s komplexním potenciálem
Discrete polyharmonic operator with complex potential
Type of document
diplomová prácemaster thesis
Author
Tomáš Hrdina
Supervisor
Štampach František
Opponent
Lotoreichik Vladimír
Study program
Matematické inženýrstvíInstitutions assigning rank
katedra matematikyDefended
2024-06-04Rights
A university thesis is a work protected by the Copyright Act. Extracts, copies and transcripts of the thesis are allowed for personal use only and at one?s own expense. The use of thesis should be in compliance with the Copyright Act http://www.mkcr.cz/assets/autorske-pravo/01-3982006.pdf and the citation ethics http://knihovny.cvut.cz/vychova/vskp.htmlVysokoškolská závěrečná práce je dílo chráněné autorským zákonem. Je možné pořizovat z něj na své náklady a pro svoji osobní potřebu výpisy, opisy a rozmnoženiny. Jeho využití musí být v souladu s autorským zákonem http://www.mkcr.cz/assets/autorske-pravo/01-3982006.pdf a citační etikou http://knihovny.cvut.cz/vychova/vskp.html
Metadata
Show full item recordAbstract
Cílem této práce je definovat obecnou kladnou mocninu diskrétního Laplaceova operátoru na diskrétní přímce a vyšetřit její spektrální vlastnosti. Zvolili jsme přístup využívající teorii Laurentových operátorů. Dále jsme zkoumali spektrum diskrétního polyharmonického operátoru s komplexním potenciálem. Za využití Birmanova-Schwingerova principu jsme nalezli takzvané spektrální obálky a lokalizovali spektrum. Nalezené obálky jsou za předpokladu platnosti jisté hypotézy optimální. Tato hypotéza byla analyticky dokázána pro bilaplaceův operátor. Dále jsme se zabývali kritikalitou kladné mocniny Laplaceova operátoru a Hardyho nerovnostmi. Byl stanoven přesný rozsah mocniny Laplaceova operátoru tak, aby byl kritický. The aim of this thesis is to define the general positive power of the discrete Laplace operator over integers and analyze its spectral properties. We have chosen an approach utilizing the theory of Laurent operators. Furthermore, we analyzed the spectrum of the discrete polyharmonic operator with a complex potential. Having used the Birman-Schwinger principle, we found so-called spectral enclosures and localized the spectrum. The given enclosures are optimal under the assumption of validity of a certain conjecture. This conjecture was analytically proven for the bilaplace operator. We conclude by analyzing the criticality of the positive power of the discrete Laplace operator and Hardy's inequalities. An exact range of the Laplace operator's power was determined to make it critical.
Collections
- Diplomové práce - 14101 [152]