Diskrétní polyharmonický operátor s komplexním potenciálem

Abstract

Cílem této práce je definovat obecnou kladnou mocninu diskrétního Laplaceova operátoru na diskrétní přímce a vyšetřit její spektrální vlastnosti. Zvolili jsme přístup využívající teorii Laurentových operátorů. Dále jsme zkoumali spektrum diskrétního polyharmonického operátoru s komplexním potenciálem. Za využití Birmanova-Schwingerova principu jsme nalezli takzvané spektrální obálky a lokalizovali spektrum. Nalezené obálky jsou za předpokladu platnosti jisté hypotézy optimální. Tato hypotéza byla analyticky dokázána pro bilaplaceův operátor. Dále jsme se zabývali kritikalitou kladné mocniny Laplaceova operátoru a Hardyho nerovnostmi. Byl stanoven přesný rozsah mocniny Laplaceova operátoru tak, aby byl kritický.

The aim of this thesis is to define the general positive power of the discrete Laplace operator over integers and analyze its spectral properties. We have chosen an approach utilizing the theory of Laurent operators. Furthermore, we analyzed the spectrum of the discrete polyharmonic operator with a complex potential. Having used the Birman-Schwinger principle, we found so-called spectral enclosures and localized the spectrum. The given enclosures are optimal under the assumption of validity of a certain conjecture. This conjecture was analytically proven for the bilaplace operator. We conclude by analyzing the criticality of the positive power of the discrete Laplace operator and Hardy's inequalities. An exact range of the Laplace operator's power was determined to make it critical.