Odhady dolních mezí pro plánování cesty v prostředí s překážkami

Abstract

V této práci se zabýváme variantou známého Problému obchodního cestujícího, nazvaného Problém obchodního cestujícího s kruhovým okolím v prostředí s překážkami v polygonálním prostoru. Cílem je navštívit všechny definované cílové regiony v jejich kruhovém okolí tak, aby délka vzniklé cesty tvořicí uzavřený cyklus byla minimální a zároveň cesta neprotínala žádné polygonální překážky. Formulujeme problém jako Celočíselný nelineární program (MINLP) pro pevně danou sekvenci, která obsahuje body mezi cílovými regiony nutné pro vyhnutí se překážkám. Navrhujeme rozšíření Metody větví a mezí (BnB) pro větvení na sekvencích pro řešení studovaného problému, včetně různých druhů odhadů spodních limitů délky řešení na základě Euklidovských vzdáleností, Grafu viditelnosti, a pomocí matematického modelu neuvažujícího překážky. Dále navrhujeme dvě různé metody pro získání řešení problému: metoda vzorkující hranici kruhového regionu, která transformuje studovaný problém do vzorkovaného prostoru, a metoda využívající MINLP model, obsahující omezení pro rozdělení plochy na poloroviny, do kterých přísluší daná překážka. Navrhované řešení problému je horním ohraničením optimálního řešení. Výsledky navrhovaného BnB algoritmu jsou napočítány na náhodně vygenerovaných instancích a porovnány s existujícími heuristickými metodami. Vyhodnocujeme jak vliv různých odhadů spodního limitu, tak kvalitu různých metod řešení. Z výsledků vyplývá že všechny typy odhadu spodního limitu řešení poskytují stejnou výslednou optimální sekvenci pro všechny testované instance. Navržené řešení problému pomocí vzorkující metody je závislé na hustotě vzorkování. Řešení nalezené touto metodou s malým množstvím vzorků je možné výrazně vylepšit použitím MINLP modelu jako dodatečnou optimalizaci. V porovnání s referenčními metodami mají výsledky lepší nebo porovnatelnou délku cesty získanou v delším výpočetním čase, což je očekávané kvůli exaktnímu přístupu. Navíc je možné použít dodatečnou optimalizaci i na vylepšení řešení nalezených pomocí referenčních metod.

In the thesis, we address a variant of the well-known Traveling Salesman Problem called the Close-Enough Traveling Salesman Problem with obstacles in the polygonal domain. The problem is to visit given target regions within their disk neighborhoods, such that the length of the formed closed-loop tour is minimal, and the tour does not interfere with any polygonal obstacles. We formulate the problem as the Mixed Integer Non-Linear Program (MINLP) for a fixed sequence that includes the intermediate points between regions necessary for obstacle avoidance. We propose an extension of the sequence-based Branch-and-Bound (BnB) method to address the studied problem utilizing several lower bound estimates of the solution cost based on the Euclidean distance, the Visibility Graph, and the mathematical model disregarding the obstacles. Moreover, we propose two different methods to determine feasible upper-bound solutions: the Sampled-based method, where the target region borders are sampled and the problem becomes discretized; and the MINLP model, which includes obstacle constraints using half-plane separation of obstacle points. The proposed BnB method is evaluated on randomly generated instances and compared with the existing heuristic methods. We examine the lower bound estimate influence on the solution quality and the performance of the upper bound solutions. Based on the results, all proposed lower bound estimates provide the same optimal sequence for all evaluated instances. The upper bound determined by the sampling-based method is dependent on the density of the sampling. The found solutions provided by the method with sparse sampling can be significantly improved by the proposed MINLP-based method as the post-optimization procedure. In comparison to the reference methods, the obtained results had better or comparable costs in a longer computational time, which is to be expected due to using exact methods. Furthermore, the post-optimization procedure can be used to improve the reference solutions as well.