Konexe na diferencovatelných varietách

Abstract

Jedním z cílů této práce je v plném měřítku uvést rozsáhlou diferenciální strukturu na hladké varietě. Abychom toho dosáhli, prozkoumáme nejprve jednotlivé aspekty její definice. Dále na varietách uvedeme tečnou strukturu, jenž nám umožňuje lokálně ho-vořit o derivacích a vektorových polích. Tato konstrukce přirozeně vyúsťuje v definice kovariantní derivace a konexe, přičemž první z pojmů slouží jakožto zobecnění derivace ve směru a druhý jakožto nástroj pro „slepování“ tečných prostorů. Jako vyvrcholení práce ukážeme, že tyto dvě dodatečné struktury na varietě jsou ekvivalentní.

One of the aims of this thesis is to fully introduce a comprehensive differentiable structure on a smooth manifold. To achieve that, we first inspect various aspects of its definition. Further, we introduce a tangent structure on said manifolds, allowing us to locally speak of derivatives and vector fields. This construction naturally results in definitions of a covariant derivative and a connection form, where the former serves as a generalisation of a derivative in a direction and the latter as a tool for “glueing” tangent spaces together. As a climax of the thesis, we show that the two previously mentioned additional structures on the ambient manifold are equivalent.