Analýza stability metody SPH s využitím cirkulantních matic

Abstract

V této práci je provedena analýza stability vybraného schématu Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH), které diskretizuje model slabě stlačitelné barotropické tekutiny. Metoda analýzy stability, rozšířena do dvou prostorových rozměrů v této práci, je založena na výhodné vlastnosti cirkulantních matic, které mohou být diagonalizovány pomocí diskrétní Fourierovy transformace. Díky vhodné volbě periodické výpočetní oblasti a uspořádání částic lze vybrané schéma SPH přepsat do maticové formulace, kde všechny vzniklé matice jsou cirkulantní. To umožňuje soustavu diagonalizovat a převést na sadu vzájemně nezávislých soustav diferenciálních rovnic prvního řádu, jejichž stabilita je hodnocena na základě vlastních čísel matice každé soustavy. Výsledky ukazují, že oblasti stability jsou silně závislé na volbě vyhlazovací funkce a nastavení velikosti nosiče. Dále je ilustrováno, že změna viskozity ani tlaku pozadí ztrátu stability nepůsobí a má vliv pouze na rychlost tlumení.

This work presents a stability analysis of a weakly compressible Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) scheme that discretizes a weakly compressible barotropic fluid model. The stability analysis method, extended to two spatial dimensions in this thesis, is based on a convenient property of circulant matrices, which can be diagonalized using the discrete Fourier transform. Thanks to a suitable choice of a periodic computational domain and particle arrangement, the selected SPH scheme can be rewritten in a matrix formulation, where all resulting matrices are circulant. This enables the system to be diagonalized and transformed into a set of independent systems of first-order differential equations, whose stability is evaluated based on the eigenvalues of matrices of each system. Results show a strong dependence of stability on the chosen smoothing function and radius of kernel support. It is demonstrated that viscosity and background pressure only influence rate of dampening rather than stability itself.