Spojitá limita diskrétních operátorových matic

Abstract

Uvažujeme třídu operátorových matic D, která je zobecněním dvoudimenzionálního Diracova operátoru. Hlavním cílem je dokázat odhady normy rozdílu rezolvent spojité verze operátoru D a jeho příslušné diskretizace, která je vnořená do spojitého prostoru pomocí biortogonálních Rieszovských posloupností. Vyšetřujeme, zda rezolventa dané symetrické a nesymetrické diskretizace konverguje k rezolventě původního spojitého operátoru pro zmenšující se mřížkový parametr h. Naším hlavním výsledkem je, že symetrická diskretizace má za důsledek rezolventní konvergenci druhého řádu v h, zatímco nesymetrické diskretizace vyústí v konvergenci pouze prvního řádu v h. Tato konvergence však platí pouze v případě, pokud k přirozeným diskretizacím přičteme správný korekční člen. Nakonec ukazujeme, že konvergence rezolvent v operátorové normě s daným řádem v h je zachována, i pokud umocníme jak diskretizaci, tak i původní spojitý operátor na přirozenou m-tou mocninu.

We consider a class of block-matrix differential operators D, which generalize the two-dimensional Dirac operator. Our main goal is to prove norm estimates for the difference of resolvents of the continuous operators D and their discrete counterparts, embedded into the continuum using biorthogonal Riesz sequences. We investigate whether certain symmetric and non-symmetric discretizations converge to the original continuous operators as the mesh parameter h tends to zero, in the norm-resolvent sense. The main result shows that the symmetric discretization achieves second order convergence in h, while the non-symmetric discretization achieves only first order convergence. However, this convergence only holds when a suitable correction term is added to the discretizations. Lastly, we show that the norm-resolvent convergence of a given order in h is preserved when both the discretization and its continuous counterpart are raised to the natural m-th power.