Dynamika křivek v rovině a prostoru a její aplikace

Abstract

Tato práce se zaměřuje na geometrické toky křivek ve třírozměrném eukleidovském prostoru, téma, které je často zastíněno studiem vyšších dimenzí nebo intrinzických toků. Práce představuje analytické a topologické pokroky, zejména ve zkracování křivek vyšší kodimenze, stejně jako v představeném toku generujícím minimální plochy. S využitím nástrojů z nedegenerované homotopie a geometrické teorie uzlů práce rozšiřuje dostupné metody pro pochopení dlouhodobého chování vyvíjejících se prostorových křivek. Tyto výsledky mohou nalézt uplatnění v různých oblastech, včetně dynamiky tekutin, materiálové vědy a počítačové grafiky.

This thesis focuses on geometric flows of curves in three-dimensional Euclidean space, a subject often overshadowed by the study of higher-dimensional or intrinsic flows. The work presents analytical and topological advancements, particularly in higher codimension curve shortening flow as well as in the introduced minimal surface generating flow and framed curvature flow. Utilizing tools from nondegenerate homotopy and geometric knot theory, the study augments the available methods for understanding the long-term behavior of evolving space curves. These developments have the potential to be applied in various fields, including fluid dynamics, material science, and computer graphics.