Time-Varying Semidefinite programming

Abstract

Semidefinitní programování (SDP) je rozsáhlá třída konvexních optimalizačních úloh,jejichž proměnnými jsou matice patřící do afinního podprostoru positivně-semidefinitního kužele. V mnoha aplikacích se vstupní data těchto konvexních optimalizačních problémů mění jako funkce času. Tato práce zkoumá v čase proměnné semidefinitní programy (TV-SDP), jejichž data a řešení závisí na parametru času. Nejprve studujeme geometrii trajektorie řešení, definovanou jako funkcí s oborem hodnot na množinách, která k libovolné hodnotě časového parametru přiřazuje množinu optimálních řešení. Představujeme dobrou charakterizaci geometrického chování této trajektorie. Jako náš hlavní výsledek ukazujeme, že podél trajektorie řešení lze pozorovat pouze šest různých typů chování, a každý typ ilustrujeme na příkladu. Dále představujeme algoritmus pro sledování trajektorie řešení TV-SDP, který je založen na sledování trajektorie řešení maticové faktorizace, známé jako Burerova–Monteirova faktorizace. Algoritmus je postaven na řešení posloupnosti linearizovaných systémů podmínek optimality, což vyžaduje zavedení omezení na tzv. horizontální podprostor, které zajistí lokální injektivitu faktorizace. Algoritmus vytváří posloupnost přibližných řešení původního problému TV-SDP, u nichž ukazujeme, že při správné inicializaci zůstávají blízko optimální trajektorie řešení. Numerické experimenty pro v čase proměnnou relaxaci problému bisekce ukazují, že algoritmus je z hlediska doby běhu a přesnosti vylepšením oproti standardním algoritmům založeným na tzv. metodě vnitřního bodu.

Semidefinite programming (SDP) is a large class of linear conic optimization problems,whose variables are matrices belonging to an affine section of the positive semidefinite cone. In many applications, the input data of these convex optimization problems change as a function of time. This thesis explores time-varying semidefinite programs (TV-SDPs), SDP problems whose data and solutions depend on a time parameter.We first study the geometry of the trajectory of solutions, defined as the set-valued map that associates to any value of the time parameter the set of optimal solutions. We propose an exhaustive description of the geometric behavior of this trajectory. As our main result, we show that along the solution trajectory only six distinct types of behaviors can be observed, and we illustrate each type with an example. Next, we present a path-following algorithm for TV-SDP, based on tracking the solutions trajectory of a matrix factorization, known as the Burer–Monteiro factorization. The method is built on solving a sequence of linearized optimality conditions systems, which requires the introduction of a horizontal space constraint to ensure the local injectivity of the factorization. The algorithm produces a sequence of approximate solutions for the original TV-SDP problem, for which we show that they stay close to the optimal solution path if properly initialized. Numerical experiments for a time-varying Max-Cut SDP relaxation demonstrate the computational advantages of the method for tracking TV-SDPs in terms of runtime and accuracy, compared to off-the-shelf interior point algorithms.