Aplikace teorie ortogonálních polynomů v řešení Heunovy diferenciální rovnice

Abstract

Tato práce z oblasti teorie ortogonálních polynomů se zaměřuje na využití zmíněné teorie při řešení Heunovy diferenciální rovnice. Zafixováním jednoho z parametrů v Heunově rovnici v závislosti na jiném jsme schopni podle článků [11] a [10] naleznout řešení ve tvaru mocninné řady a určit koeficienty této řady. Zmíněný postup lze aplikovat za předpokladu, že parametry této rovnice jsou kladné. V práci bude výsledek zobecněn na komplexní rovinu s výjimkou záporné poloosy. Právě v nalezeném řešení figurují ortogonální polynomy příslušející jisté Jacobiho matici. Dále bude zkoumána první vlastní hodnota (základní stav) této matice pomocí dvou přístupů k poruchové teorii, klasického dle knížek [6] a [8] a pomocí přístupu odvozeného v článku [5]. Bude ukázáno, že výsledky obou teorií se shodují.

This thesis from the field of the theory of orthogonal polynomials focuses on the application of this theory to solution of Heun’s differential equation. Fixing one of the parametres of the equation in dependence on another, we will be able to find a solution in the form of power series and we will be able to determine coefficients of these series according to [11] and [10]. This approach holds under the assumption that all parametres of Heun’s equation are positive. The result will be extended to the complex plane except for negative real numbers. In the found solution, orthogonal polynomials corresponding to a certain Jacobi matrix occur. Next part of the thesis focuses on finding the approximation for the ground state by two methods. Firstly, we will find perturbation series according to [6] and [8]. Next, we compare results with those obtained by second method due to [5]. We will show that the results coincide.