Analýza v Banachových prostorech

Abstract

V práci je studováno téma Lipschitzovských funkcí v Banachových prostorech. Lipschitzovská zobrazení hrají důležitou roli v současné nelineární funkcionální analýze. Jsou rozumnou relaxací lineárních spojitých operátorů, a tak nacházejí celou škálu teoretických i praktických aplikací. Strukturou spadající do oblasti Lipschitzovských funkcí, která se dnes těší velkému vědeckému zájmu, jsou Lipschitzovsky volné prostory nad metrickým prostorem. Lipschitzovsky volný prostor (zkráceně LV prostor) je Banachův prostor, který nese komplexitu metrického prostoru, nad kterým je definován. Každé lipschitzovské zobrazení mezi metrickými prostory indukuje lineární zobrazení mezi příslušnými LV prostory. V druhé kapitole práce je prezentován stručný úvod do teorie LV prostorů. Ve dvou z přiložených článků je studována struktura LV prostorů nad stejnoměrně diskrétními prostory. Nejvíce pozornosti je věnováno studiu Schauderových bazí v LV prostorech. V prvním článku je ukázáno, jak souvisí stejnoměrně omezené, komutující Lipschitzovské retrakce na metrickém prostoru s existencí Schauderovy baze v LV prostoru. Je sestrojen konkrétní příklad Schauderovy baze na LV prostoru celočíselné mřížky v prostorech s bezpodmínečnou bazí; konkrétním příkladem může být mřížka v $c_0$, která je zde zároveň sítí. Pro libovolné pevné $n\in\R$ je ukázáno, že ačkoliv dvě sítě v $\R^n$ nemusí být Lipschitzovsky ekvivalentní, jejich příslušné LV prostory jsou lineárně isomorfní. V třetím článku je téma Schauderových bazí na LV prostorech dále rozvinuto. Jsou definovány pojmy retrakční baze a rozšířená baze na LV prostorech. Je zde dokázáno, že dokonce pro poměrně jednoduchý stejnoměrně diskrétní prostor retrakční baze na příslušném LV prostoru nemusí existovat. Pro stejný prostor je však nalezena monotónní rozšířená baze. V poslední řadě je formulována podmínka na posloupnost retrakcí, za které je výsledná retrakční baze podmínečná. Využitím základních poznatků z topologie je dokázáno, že všechny retrakční baze na LV prostorech sítí v $\R^n$ jsou podmínečné. V práci je také příspěvek k teorii Lipschitzovských funkcí v neseparabilních Banachových prostorech. V druhém přiloženém článku je dokázáno, že neseparabilní analogie Gowersovy věty neplatí. Gowers dokázal, že každá Lipschitzovská funkce z jednotkové sféry $c_0$ se stabilizuje na sféře nějakého nekonečně rozměrného podprostoru. Předložený výsledek ukazuje, že uvážíme-li Lipschitzovskou funkci ze sféry neseparabilního $c_0(\Gamma)$, nemusí se stabilizovat na sféře žádného neseparabilního podprostoru. Je zde předložen protipříklad: Kontrakce, jejíž hodnoty se na sféře libovolného neseparabilního podprostoru $c_0(\Gamma)$ různí o více než $\frac{1}{4}$.

In the thesis, the field of Lipschitz mappings in Banach spaces is studied. Lipschitz mappings play an important role in contemporary nonlinear functional analysis. They are a reasonable relaxation of bounded linear mappings and therefore can be found in many theoretical as well as practical applications. A structure of a great interest in the field of Lipschitz mappings is the Lipschitz-free space over a metric space. Lipschitz-free space is a Banach space which carries the complexity of the underlying metric space. Every Lipschitz mapping between two metric spaces induces a linear mapping between corresponding Lipschitz-free spaces. An introduction to the topic is presented within the chapter two of the thesis. The structure of Lipschitz-free spaces over uniformly discrete spaces is studied in two of the attached articles. Most interest is given to the study of Schauder bases in Lipschitz-free spaces. In the first article there is shown how uniformly bounded, commuting Lipschitz retractions on the metric space are connected to the existence of Schauder basis on the Free space. A Schauder basis for the Free space of an integer lattice in any space with an unconditional basis is constructed, which applies particularly for the space $c_0$, where such a lattice represents a net. Also, it is shown that for fixed $n$, although nets in $\R^n$ do not need to be Lipschitz-equivalent, their Free spaces are always isomorphic. In the third article, the topic of Schauder bases in Lipschitz-free spaces is further investigated. It introduces the classification extensional and retractional for some Schauder bases on the Free space. It is shown that even for a simple infinite uniformly discrete space the retractional basis does not need to exist. For the same space, an extensional Schauder basis was constructed. Lastly, a condition is set on a sequence of retractions, under which the resulting Schauder basis is conditional. With the use of basic topological facts it is proven that every retractional Schauder basis in Lipschitz-free space of a net in $\R^n$ is conditional. There is also a contribution to the theory of Lipschitz mappings in nonseparable Banach spaces. In the second attached article there is proved that the nonseparable analogue of Gowers' theorem does not hold. Gowers proved that every real Lipschitz mappping from the sphere of $c_0$ stabilizes on the sphere of some infinite dimensional subspace. The presented result shows that if we consider a Lipschitz mapping from the sphere of $c_0(\Gamma)$, it does not need to stabilize on the sphere of some nonseparable subspace. Actually a counterexample is presented - a nonexpansive function, which varies more than $\frac{1}{4}$ on a sphere of any nonseparable subspace of $c_0(\Gamma)$.