Koopman a moment-sum-of-squares přístupy pro řízení: výpočetní metody a aplikace

Abstract

Tato disertační práce využívá metod Sum-of-squares (SOS) a Koopmanova operátoru pro analýzu a syntézu řízení nelineárních řídicích systémů. Obě techniky pracují s linearizací a konvexifikací nelineárních řídicích problémů tím, že převádějí problémy do nekonečně dimenzionálního prostoru, kde je možné je popsat lineárně, což následně vede ke konvexnímu programování. Tato práce zkoumá aktuální nedostatky obou technik a navrhuje řešení s cílem ulehčení jejich uplatnění v praxi. Metoda SOS poskytuje nástroje pro řešení nekonvexních polynomiálních problémů pomocí konvexního programování. Záruka globální optimality je vykoupena velikostí oněch konvexních programů, což metodu omezuje na malé nebo velmi řídké problémy. Tato práce zlepšuje škálovatelnost, požadavky na výpočetní a časové zdroje a přesnost metody SOS pro úlohy související s řízením tím, že problém rozdělí na několik spolu propojených částí o menší složitosti a zároveň poskytuje metodu pro optimalizaci onoho rozdělení, čímž se zmírňuje dopad zvýšení počtu parametrů. Metoda Koopmanova operátoru poskytuje nástroje pro globální reprezentaci nelineárních dynamických systémů pomocí lineárních systémů velkého řádu, což umožňuje použití metod lineárního řízení pro analýzu a návrh řízení pro daný nelineární systém. Současné metody pro učení Koopmanova operátoru předpokládají částečné znalosti o operátoru, které se obvykle nedají snadno získat, což přenáší problém nalezení Koopmanova operátoru na problém nalezení správné parametrizace pro konkrétní numerickou metodu, což může být stejně tak náročné. Tato disertační práce představuje novou metodu pro aproximaci Koopmanova operátoru pro nelineární řídicí systémy. Metoda nepředpokládá žádné předchozí znalosti o operátoru, úspěšně překonává současné metody, rozšiřuje třídu systémů, které lze aproximovat touto metodologií, a je schopna využít a replikovat symetrie daného nelineárního systému, čímž zajišťuje konzistentní chování kontrolérů v případě použití metody pro jejich syntézu.

This thesis uses Sum-of-squares (SOS) and Koopman operator frameworks for analysis and control synthesis of nonlinear control systems.Both techniques propose linearization and convexification of nonlinear control problems by casting the problems into infinite-dimensional space where they permit linear descriptions leading to convex programming. We investigate the current challenges of both techniques and propose solutions aimed at making them more applicable in practice. The SOS framework provides tooling for solving nonconvex polynomial problems via convex programming. The tradeoff for the global optimality is reflected in the size of convex programs, which limits the framework to small or very sparse problems.In this work, we improve the scalability, resource demands, and accuracy of the SOS framework for control-related tasks by splitting the problem into several interconnected parts of lesser complexity while also providing a method for optimizing the splitting, thus mitigating the impact of increasing the number of parameters. The Koopman framework provides tools for global representation of nonlinear dynamical systems by high-dimensional linear systems, allowing the use of linear control methods for analysis and control design for the underlying nonlinear system. The current methods for learning the Koopman operator assume some partial knowledge about the operator, which is usually challenging to obtain, thus transferring the problem of finding the Koopman operator to the problem of finding the right parametrization for the particular numerical method, which can be just as difficult. which can be just as difficult. This thesis presents a new method for approximating the Koopman operator for nonlinear control systems. The method does not assume any prior knowledge about the operator,successfully outperforms the current state-of-the-art,increases the class of systems which can be approximated by the methodology, and is capable of exploiting and replicating symmetries of the underlying nonlinear system,thus guaranteeing consistent controller behaviour when used for control synthesis.