Numerické algoritmy pro výpočet singulárního rozkladu (SVD)

Abstract

Singulární rozklad matice (SVD) je již považován za klasický koncept lineární algebry. Je jedním z mnoha rozkladů matic, ale liší se od ostatních celou řadou výhod. Na jedné straně existuje velké množství různých aplikací singulárního rozkladu, které se využívají i dnes. Na druhou stranu je obdivuhodná matematická teorie stojící za tímto konceptem. V této práci vysvětlíme teoretickou podstatu SVD, představíme existující algoritmy pro jeho výpočet, podrobně popíšeme GolubůvReinschůvKahanův algoritmus, který jsme se rozhodli implementovat, a především ukážeme implementaci tohoto algoritmu pro výpočet SVD v programovacím jazyce C++ s využitím numerické knihovny Template Numerical Library.The singular value decomposition (SVD) is now regarded as a classical concept in linear algebra. It is one of many matrix factorizations, yet it stands out for its numerous advantages. On one hand, SVD underlies a wide spectrum of applications that remain relevant today; on the other hand, an elegant mathematical theory supports the concept. In this thesis, we explain the theoretical foundations of SVD, review existing algorithms for its computation, describe in detail the GolubReinschKahan algorithm we chose to implement, and, above all, demonstrate its implementation in C++ using the Template Numerical Library.