Zobecněné modely pravděpodobnosti

Abstract

Zabýváme se několika přístupy k teorii fuzzy pravděpodobnosti, zejména v MV-algebrách a ve fuzzy σ-algebrách. Studujeme na nich stavy a bereme v úvahu výsledky z teorie fuzzy měr jakožto zobecnění výsledků z Boolových σ-algeber. Například zjišťujeme, že se objevují nové problémy v rozšíření klasické teorie, jestliže pracujeme s obecnějšími strukturami než je MV-algebra se součinem.

Ve snaze zobecnit klasické statistické výsledky se setkáváme s problematikou nezávislosti jevů. Pozorujeme, že přísnější definice nezávislosti (silná nezávislost) je nezbytná pro vytvoření pravděpodobnostní teorie. V MV-algebrách je klíčovým pojmem rozklad jednotky, neboť se musíme vyrovnat s řadou překážek při konstrukci rozkladu jednotky.

Následně přecházíme k analýze pozorovatelných. Při vytváření sdružené pozorovatelné čelíme několika otevřeným otázkám. V relevantní literatuře objevujeme nepřesnosti v řešení této problematiky. Docházíme k závěru, že je třeba nabídnout definici, která bude brát v potaz Fréchetovy-Hoeffdingovy meze. Porovnáváme naše definice s některými z publikací ve snaze potvrdit přednosti našeho přístupu.We pursue several approaches to fuzzy probability theory, in particular in MV-algebras, tribes, and fuzzy σ-algebras. We study states on them and we consider the fuzzy measure-theoretic results as generalizations of the results in Boolean σ-algebras. For instance, we find that we encounter new problems in extending the classical theory if we deal with a more general structures than an MV-algebra with a product.

In the effort to generalize the classical statistical results, we encounter the issue of the independence of events. We observe that a stricter definition of independence (a strong independence) is necessary for building up the theory of probability. A crucial notion is the partition of unity in MV-algebras, where we have to cope with several pathologies in constructing the partition of unity. We manage to handle this circumstance relatively successfully.

Afterwards, we pass to the analysis of observables. In the construction of the joint observable, we are confronted with several open questions. We discover the absence of a clear approach and the lack of precision in treating this issue in the literature. We conclude that it is necessary to offer the definition that takes into account the Fréchet-Hoeffding bounds. We compare our definitions to some published articles in an effort to acknowledge the merits of our approach.