Vlnová rovnice s dirakovským tlumením

Abstract

Spektrální teorie je účinným nástrojem při vyšetřování vlnové rovnice s tlumením. Nejprve představíme základy teorie neomezených operátorů a pojem Rieszovy báze v Hilbertově prostoru. Vlnovou rovnici s dirakovským tlumením přeformulujeme pomocí neomezeného operátoru na konkrétním Hilbertově prostoru. Ukážeme, že jeho čistě diskrétní spektrum je určeno kořeny jisté celé funkce. Tohoto poznatku využijeme k popisu vlastností vlastních čísel a k řešení otázky optimálního tlumení pro jeho jednoduché umístění. Najdeme explicitní vztahy pro vlastní funkce a ukážeme symetrický vztah pro sdružený operátor. Nalezneme stopu reálné části inverzního operátoru a související spektrální charakteristiku. S využitím Livšicova kritéria ukážeme, že pro jistou kritickou hodnotu tlumení zobecněné vlastní vektory netvoří Rieszovu bázi. Nakonec určíme, zda zobecněné vlastní vektory tvoří Rieszovu bázi pro libovolné umístění dirakovského tlumení s jakoukoli reálnou hodnotou síly.Spectral theory is a potent tool in investigating the damped wave equation. First, we introduce the basics of the theory of unbounded operators and the notion of a Riesz basis in a Hilbert space. We reformulate the wave equation with Dirac damping in terms of an unbounded operator in a particular Hilbert space. We show that its purely discrete spectrum is determined by the roots of an entire function. We use this knowledge to describe properties of the eigenvalues and to solve the problem of the optimal damping for its simple placements. We find explicit formulas for the generalised eigenfunctions and show a symmetry result for the adjoint operator. We calculate the trace of the real part of the inverse and a related spectral characteristic. Invoking the Livšic trace criterion, we disprove the Riesz basis property of the root vectors for a certain critical value of the damping parameter. Finally, we determine the Riesz basis property for a general placement of any real-valued Dirac damping.