Složitost her na grafech

Abstract

V této disertační práci se zabýváme složitostí her na grafech. Hlavním cílem je zjistit, kdy jsou problémy řešitelné a kdy jsou těžké. K dosažení těchto cílů používáme algoritmizaci společně s těžkostními redukcemi; a strukturální i parametrizovanou analýzu. Nejprve se zaměříme na herní variantu dominujícího čísla zvané Eternal domination. Poskytujeme několik nových technik, které nám umožňují problém řešit. Pomocí těch získáme algoritmus pro určení přesné hodnoty Eternal domination pro třídu kaktusových grafů. Studujeme také problém Bears with Hats, který souvisí s barvením grafů. Zavádíme jeho zobecnění a ukazujeme jeho spojení s grafovým independence polynomem. Toto spojení nám pak umožňuje získat polynomiální algoritmus pro chordalní grafy. Také díky němu získáme meze na základě maximálního stupně grafu a zcela vyřešíme úplné grafy, cesty a cykly. Dále zkoumáme herní variantu Ramseyho čísel, která se nazývá Online Ramsey numbers. Klasické Ramseyho číslo udává spodní hranici velikosti grafu takovou, aby bylo zaručeno, že obsahuje nějakou homogenní strukturu. Ukazujeme, že Online Ramsey hra poskytuje asymptotickou výhodu v porovnání s klasickou variantou problému. Také zahajujeme studii získávání indukovaných podgrafů v rámci herního prostředí a ukazujeme řešení cest, cyklů a několika rodin stromů. Nakonec si ukážeme zobecnění Group Identification Problem, kdy proces přes graf modeluje šíření tajemství. Je známo, že model jednoho procesu je řešitelný, nicméně při zobecnění na více procesů se problém stává NP-těžkým. Poskytujeme kompletní parametrizovanou analýzu složitosti čtyř variant tohoto problému pomocí P, FPT a XP algoritmů a W[1] a NP-těžkosti zapomoci standardních nástrojů. Charakterizujeme, které vlastnosti vstupu dělají tento problém těžký a díky kterým je řešitelný.

In this dissertation thesis, we study the complexity of games on graphs. The main goal is to establish which settings of the problems are tractable and which settings are hard. To reach these goals, we use algorithmization together with hardness reductions; and structural and parameterized analysis. First, we focus on a game variant of the domination number called the Eternal domination number. We provide several new techniques that allow us to tackle the problem. Using those we obtain an algorithm for determining the exact value of the Eternal domination number for the class of cactus graphs. We also study the Hat chromatic number problem which is related to graph coloring. We introduce its generalization and show its connection to the independence polynomial on graphs. This connection then allows us to obtain a polynomial algorithm to solve the problem on chordal graphs, give bounds based on maximal vertex degree, and solve complete graphs, paths, and cycles. Further, we investigate a game variant of Ramsey numbers called the Online Ramsey numbers. The classical Ramsey number gives a lower bound on the size of the graph such that it is guaranteed to contain some homogeneous structure. We show that the Online Ramsey game gives an asymptotic advantage compared to the classical problem variant. We also initiate the study of obtaining induced subgraphs within the game setting and show solutions for paths, cycles, and several tree families. Last, we show a generalization of the Group identification problem where a process over a graph models spreading of secrets. The model of a single process is known to be tractable, however, the generalization with several processes becomes NP-hard. We provide a complete parameterized complexity analysis of four variants of this problem showing P, FPT, and XP algorithms or W[1] and NP-hardness results via standard means. We characterize which secondary measures of the input make the problem hard and which make it tractable.