Nejednoznačnost počátečních dat gravitačního pole ve sférické symetrii

Abstract

Tato práce se zabývá nejednoznačností počátečních dat gravitačního pole konstruovaných metodou konformní dekompozice. Zaměřujeme se konkrétně na sféricky symetrickou, momentálně statickou hmotu ve vakuu, s konformně škálovanými i neškálovanými zdroji. Nejprve shrneme a reprodukujeme některé dosavadní výsledky týkající se hmoty popsané hustotním profilem s kompaktním nosičem, konkrétně příklad hvězdy konstantní hustoty. Poté numericky zkoumáme hmotové slupky s různými profily hustoty a poskytujeme fyzikální interpretaci pozorovaného větvení řešení Hamiltonovské vazby. Dále ukážeme, že superpozice dvou hmotných slupek vede k větvení, které v tomto případě dosud nebylo pozorováno. Odvodíme nové přesné řešení Hamiltonovské vazby pro tenkou slupku popsanou hustotou danou Diracovou $\delta$ funkcí. Ukážeme, že tato počáteční data sdílí vlastnosti s případem hvězdy s konstantní hustotou, a potvrdíme optimálnost známého integrálního odhadu. Zobecněním našeho odvození na $n$ tenkých slupek převedeme úlohu nalezení počátečních dat na problém nalezení kořenů polynomu stupně $5^n$, přičemž případ dvou slupek zkoumáme podrobněji. Nakonec dokážeme, že jakákoliv počáteční data s profilem hustoty s kompaktním nosičem mají nutně omezenou ADM hmotnost, což omezuje oblast možného větvení řešení.In this thesis, we investigate the non-uniqueness of initial data for gravitational fields. We restrict our attention to initial data constructed using conformal decomposition methods, specifically to spherically symmetric, momentarily static matter in a vacuum, with both conformally scaled and unscaled matter sources. We begin by reviewing and reproducing established results for compactly supported density profiles and the exact solution for the constant-density star, then proceed to numerical studies of generic mass shells, offering a physical explanation for the observed branching of solutions. Next, we demonstrate that superposing two mass shells yields additional branches not previously observed in this setting. We derive a new exact solution to the Hamiltonian constraint for a thin shell with a Dirac $\delta$ density profile, showing that it mirrors key features of the constant-density star case and shows the optimality of a known integral bound. Extending our approach to $n$ thin shells, we reduce the problem of constructing such initial data to finding roots of a degree-$5n$ polynomial, and explore the case of two shells in detail. Finally, we prove that any compactly supported density profile enforces an upper bound on the ADM mass, thus limiting solution branching to a bounded region.