Delonovské množiny uzavřené vůči afinním zobrazením

Abstract

Vhodným modelem pro kvazikrystaly -- nekrystalografické materiály s uspořádáním na dlouhou vzdálenost -- je diskrétní množina vzniklá pomocí tzv. cut and project metody.Tato metoda využívá projekce vícedimenzionálních mříží na vhodně zvolené podprostory. Umožňuje tak vytvořit diskrétní množiny se symetriemi, jež nemohou mít mřížky v nízkých dimenzích. V práci se zaměřujeme na následující otázku, totiž zda k zadanému lineárnímu zobrazení A existuje cut and project schéma takové, že jeho první projekce mříže je invariantní vůči tomuto zobrazení. V práci je dána odpověď pro libovolné zobrazení společně s popisem konstrukce příslušného schématu. Pro diagonalizovatelná zobrazení navíc určujeme minimální potřebnou dimenzi mříže. Celá práce využívá maticový formalismus založený na Jordanových formách matic. Pro kvazikrystaly s pětičetnou symetrií s kruhovým oknem dále popíšeme všechny jejich možné lineární soběpodobnosti.

A suitable model for quasicrystals -- non-crystallographic materials with long range order -- is provided by discrete sets constructed using the so-called cut and project method. The method uses projections of a higher-dimensional lattice to suitable subspaces, thus allowing to create discrete sets having symmetries forbidden in lattices of lower dimension. In this work we answer the following question: For a given linear mapping A, does there exist a cut and project scheme such that the first projection of a lattice is invariant under this mapping? We give the answer for all possible linear mappings and we give a construction of such a scheme. In the case of diagonalizable mappings we determine the minimal dimension of the scheme. For our study we use a matrix formalism based on Jordan forms of matrices. We then focus on pentagonal cut and project sets with circular window and provide a description of all their self-similarities.