Hry s po částech afinními užitkovými funkcemi

Abstract

Cílem této práce je experimentálně ověřit jestli nekonečná hry o dvou hráčích s nulovým součtem s výplatní funkcí, která je přítomna ve formě po částech afinní funkce má konečné equilibrium. Po částech afinní funkce jsou definované přes kontinuální doménu, v našem případě triangulovaný čtverec popisující kontinuální subdivizi samo sebe, kde je affinní funkce pro každý trojúhelník. V našem experimentu se zaměříme na počítání equilibria založeném na lineárním programování. Experiment je založen na generování náhodných triangulací s počástech affinními funkcemi z nich vytvořených a aproximaci těchto funkcí přes grid pro výpočet equilibria té konečné hry. Pro demonstraci uděláme čtverec [0,1]×[0,1] kde máme náhodně dané body podél dimenzí určených uživatelem a triangulujeme je. Původní body mají náhodné hodnoty jako interpolované funkce, kterým budeme říkat výšky. Po tomto základním stavu vytvoříme iteraci obsahující nalezení nových bodů z průsečíků původních bodu a úseček z triangulace. Nové body mají výšky spočtené z interpolovaných funkcí trojúhelníku triangulace. Dále vytvoříme grid ze všech existujících bodů. Hra s nulovým součtem použije výšky z gridu jako své vstupy. Kritická myšlenka je, že po několika iteracích konečné equilibrium vznikne ze hry s nulovým součtem.

The goal of the paper is to experimentally verify whether infinite two-player zero-sum games with payoff functions, present in a form of piecewise affine functions have finite equilibria. Piecewise-affine functions are defined over a continuous domain, in our case our triangulated square describing continuous subdivision of itself, where there is an affine function for each triangle. In our experiment, we will focus on computing an equilibrium based on linear programming. The experiment is based on the generation of random triangulations with piecewise affine functions arising from them with an approximation of such functions over a grid and calculating the equilibrium of the respective finite game. To demonstrate it we create a square [0,1]×[0,1] where we randomly insert points along axis decided by the user and triangulate them. Initial points have random values as interpolated function, we will call heights. After this base state, we make an iteration consisting of finding new points by intersecting initial points with lines from triangulation. New points have heights computed with interpolated functions of triangles from the triangulation. Next, we create a grid from all existing points. The zero-sum game will use the grid point’s heights as entries. The crucial conjecture is that after some number of iterations a finite equilibrium from a zero-sum game will arise.