Teorie grafů a kvantové struktury

Abstract

S příchodem kvantové teore klasická logika přestala být dostatečnou pro popis fyzikálních událostí, protože distributivní zákon výrokové logiky vede ke sporům v kvantové teorii. To vedlo k vytvoření kvantových logik. Ortomodulární svazy jsou algebraické struktury, které splňují vlastnosti kvantové logiky. \nl V této práci studujeme ortomodulární svazy, a také obecnější kvantové struktury bez netriviálních měr z libovolné komutativní aditivní grupy. Ukážeme, jak kvantové struktury souvisí s hypergrafy, a použijeme grafově teoretické metody pro vytvoření omezení velikostí studovaných kvantových struktur. \nl Prezentujeme nové výsledky jak z teorie grafů, kde jsme nalezli horní odhad počtu hran při daném počtu vrcholů pro určitý typ hypergrafů, tak z teorie kvantových struktur, kde jsme značně zjednodušili příklady a argumenty pro existenci kvantových struktur bez měr z libobolné komutativní aditivní grupy.

With arise of the quantum theory, the classical logic was no longer sufficient for describing physical events because the distributive law of propositional logic leads to contradictions in quantum mechanics. This led to the introduction of quantum logics. An algebraic structure capturing properties of quantum logic operations is called orthomodular lattice. \nl In the thesis, we study orthomodular lattices and also more general quantum structures without non-trivial measures from any additive commutative group. We show how quantum structures are related to hypergraphs and we use graph theory for deriving constraints on the size of such quantum structures. \nl We present our new results in both, the graph-theory, and the theory of quantum structures. In graph theory we derived a new upper bound on the number of edges for a given number of vertices for a certain type of hypergraphs. In the theory of quantum structures, we significantly simplified the arguments for the existence of quantum structures with no non-trivial group-valued measures. We also constructed small such quantum structures.