Analysis and comparison of methods of Grobner bases for solving nonlinear polynomial systems in finite fields of characteristic 2.

Abstract

Metoda Grobnerovy báze je univerzální a výkonný nástroj pro řešení nelineárních polynomiálních rovnic v některých algebraických polích. Tato metoda je zobecnění Gaussovského eliminačního algoritmu v nelineárním případě. Tato diplomová práce se skládá ze tří hlavních částí. V první části se zabýváme základní teorií základů Grobnerů a jejich vlastností. Druhá část se týká různých algoritmů pro konstrukci Grobnerovy základny. Provádíme porovnání a analýzu těchto algoritmů. V poslední části ukážeme, jak tyto metody využít k řešení systému nelineárních rovnic v případě algebraických konečných polí s 2 ^ n prvky, které jsou velmi užitečné v teorii kódování a kryptografie. Také v této části jsou zobrazeny experimentální výsledky implementovaných algoritmů.

Grobner bases method is a universal and powerful tool for solving nonlinear polynomial equations in some algebraic fields. This method is a generalization of Gaussian elimination algorithm in nonlinear case. This diploma thesis consists of three main parts. In the first part, we consider the basic theory of the Grobner bases and their properties. The second part is about the different algorithms for construction of Grobner basis. There we make the comparison and analysis of these algorithms. In the last part, we show how to use these methods to solve the system of the nonlinear equations in the case of algebraic finite fields with 2^n elements, which are very useful in Coding Theory and Cryptography. Also, in this part the experimental results for the implemented algorithms are shown.