Modely kvazikrystalu se soběpodobností
Quasicrystal models with self-similarity
Typ dokumentu
bakalářská prácebachelor thesis
Autor
Mazáč Jan
Vedoucí práce
Masáková Zuzana
Oponent práce
Háková Lenka
Studijní obor
Matematické inženýrstvíStudijní program
Aplikace přírodních vědInstituce přidělující hodnost
katedra fyzikyObhájeno
2017-08-30Práva
A university thesis is a work protected by the Copyright Act. Extracts, copies and transcripts of the thesis are allowed for personal use only and at one?s own expense. The use of thesis should be in compliance with the Copyright Act http://www.mkcr.cz/assets/autorske-pravo/01-3982006.pdf and the citation ethics http://knihovny.cvut.cz/vychova/vskp.htmlVysokoškolská závěrečná práce je dílo chráněné autorským zákonem. Je možné pořizovat z něj na své náklady a pro svoji osobní potřebu výpisy, opisy a rozmnoženiny. Jeho využití musí být v souladu s autorským zákonem http://www.mkcr.cz/assets/autorske-pravo/01-3982006.pdf a citační etikou http://knihovny.cvut.cz/vychova/vskp.html
Metadata
Zobrazit celý záznamAbstrakt
Uznávaným matematickým modelem pro kvazikrystaly jsou tzv. cut-and-project (C\&P) množiny. C\&P schéma $({\mathcal L},\pi_1,\pi_2)$ je dáno mříží ${\mathcal L}$ v $\R^s$ a projekcemi $\pi_1$, $\pi_2$ na dva vhodně orientované podprostory $V_1$, $V_2$. C\&P množina $\Sigma(\Omega)$ je delonovská podmnožina $\pi_1({\mathcal L})$. V práci odvodíme několik tvrzení popisujících souvislost mezi soběpodobnostními transformacemi mříže~${\mathcal L}$ a~transformacemi projekcí $\pi_1({\mathcal L})$ a $ \pi_2({\mathcal L})$. Popíšeme způsob, jak pomocí požadavků na transformaci mříže ${\mathcal L}$ konstruovat C\&P schéma s příslušnou soběpodobností. V případě požadavku 5četné symetrie sestrojíme nedegenerované ireducibilní C\&P schéma invariantní na izometrii řádu~5 a~srovnáme jej s klasickou konstrukcí pomocí Coxeterových grup. Na množině $\pi_1({\mathcal L})$~zkoumáme další možné soběpodobnosti a ukážeme, že tvoří asociativní algebru nad $\Z$. Dále zkoumáme 3D C\&P množiny vzniklé z 5D mříže. Ukážeme některé jejich překvapivé geometrické vlastnosti. Quasicrystals can be described using cut-and-project (C\&P) sets. A C\&P scheme $({\mathcal L},\pi_1,\pi_2)$ is given by a lattice ${\mathcal L}$ in $\R^s$ and by projections $\pi_1$, $\pi_2$ onto two suitable subspaces $V_1$, $V_2$. A C\&P set $\S(\Om)$ is a Delone subset of $\pi_1({\mathcal L})$. In this work we derive several propositions describing the relation between transformations of the lattice ${\mathcal L}$ and transformations of its projections $\pi_1({\mathcal L})$ and $\pi_2({\mathcal L})$. When requiring five-fold symmetry we construct non-degenerate irreducible C\&P scheme invariant under an isometry of order 5 and we compare it to the classical construction of quasicrystals using Coxeter groups. We study other self-similarities on the set $\pi_1({\mathcal L})$ and prove that they form an associative algebra over $\Z$. We further investigate 3D C\&P sets arising by projection of a 5D lattice. We demonstrate some of their surprising geometric properties.
Kolekce
- Bakalářské práce - 14102 [242]