Dirichletovy formy a měkké okrajové podmínky v diskrétní teorii potenciálů

Abstract

Tato práce zavádí nový rámec měkkých okrajových podmínek pro diskrétní teorii potenciálu, kde energetické preference nahrazují pevná omezení. Dokážeme větu o kvadratických orbitách pro výpočet minimální energie za těchto podmínek pomocí součtů nad specificky definovanými měkkými orbitami. Tento rámec pak aplikujeme na kontinuální Double Well model. Hlavní věta ukazuje, že tento systém systému jde přepsat na model Isingova typuNásledně vzniklý model mazveme Gaussův-Isingův model. Interakce v tomto novém modelu jsou určeny našimi výpočty energie na základě orbitu a ve srovnání se standardním Isingovým modelem vykazuje jiné chování při nízkých a vysokých teplotách.

This thesis introduces a~novel framework of soft boundary conditions for discrete potential theory, where energetic preferences replace rigid constraints. We develop a~"Quadratic Orbit Theorem" to calculate minimal energy under these conditions using sums over specifically defined soft orbits. This framework is then applied to a~continuous double-well potential model. The Main theorem demonstrates that the partition function of this double-well system can be exactly mapped to that of an effective Ising-like model, termed the "Gauss-Ising model." The interactions in this new model are determined by our orbit-based energy calculations, and it exhibits distinct low- and high-temperature behaviours compared to the standard Ising model.