Lipschitzovská struktura metrických a Banachových prostorů
Lipschitz structure of metric and Banach spaces
Typ dokumentu
disertační prácedoctoral thesis
Autor
Andrés Quilis Sandemetrio
Vedoucí práce
Hájek Petr
Oponent práce
Godefroy Gilles
Studijní program
Mathematical EngineeringInstituce přidělující hodnost
katedra matematikyPráva
A university thesis is a work protected by the Copyright Act. Extracts, copies and transcripts of the thesis are allowed for personal use only and at one?s own expense. The use of thesis should be in compliance with the Copyright Act http://www.mkcr.cz/assets/autorske-pravo/01-3982006.pdf and the citation ethics http://knihovny.cvut.cz/vychova/vskp.htmlVysokoškolská závěrečná práce je dílo chráněné autorským zákonem. Je možné pořizovat z něj na své náklady a pro svoji osobní potřebu výpisy, opisy a rozmnoženiny. Jeho využití musí být v souladu s autorským zákonem http://www.mkcr.cz/assets/autorske-pravo/01-3982006.pdf a citační etikou http://knihovny.cvut.cz/vychova/vskp.html
Metadata
Zobrazit celý záznamAbstrakt
Od počátku teorie Banachových prostorů bylo studium komplementárních a nekomplementárních podprostorů jedním z hlavních témat této oblasti. Speciálně v teorii neseparabilních Banachových prostorů bylo vloženo mnoho úsilí do stvoření teoretických přístupů k problematice komplementární struktury Banachova prostoru. Klasické pojmy jako například Separabilní komplementární vlastnost, Projekční rozklad identity, nebo Pličkova vlastnost byly a stále zůstávají v centru zájmu.Podobně k této situaci, lipschitzovská zobrazení mezi Banachovy prostory také hrají důležitou roli pro tuto teorii. Problémy typu lipschitzovské klasifikace Banachových prostorů, existence diferenciálu v kontextu lipschitzovských zobrazení, nebo existence lipschitzovských retrakcí na podmnožiny a podprostory Banachova prostoru jsou velmi aktivní oblastí s mnoha hlubokými výsledky a aplikacemi.V této disertaci budeme studovat lipschitzovskou retrakční strukturu neseparabliních metrických a Banachových prostorů, v analogii k teorii lineární komplementární struktury Banachových prostorů. Budeme se též zabývat souvislostmi této tématiky s problematikou struktury Lipschitzovských volných prostorů, a s problematikou lineárních extenzních oprátorů na prostorech lilpschitzovských funkcí.Nejprve provedeme zobecnění některých klasických metod lineární teorie na nelineární případ. Zavedeme pojem Lipschitzovské retrakční kostry, jakožto zobecnění Retrakční kostry. Jednou z našich aplikací bude tvrzení že Lipschitzovský volný prostor Banachova prostoru s Pličkovou vlastností má také Pličkovu vlastnost. Dále ukážeme s pomocí Lipschitzovských koster charakterizaci metrických prostorů jejichž volný prostor má Pličkovu vlastnost s použitím Dirakových měr, a ukážeme že Lipschitzovský volný prostor každého R stromu je 1-Pličko s použitím molekul.Poté přejdeme k definici (α, β)-Lipschitzovské retrakční vlastnosti (označenou RP(α, β)) pro dvojici nekonečných kardinálů α ≤ β. Jedná se tedy o nelineární analogii klasických vlastností komplementarity. Ukážeme, že C(K) prostory splňují RP(ω0, ω0), z čehož vyplývá že jejich odpovídající volné prostory mají Separabilní komplementární vlastnost.V tomto směru dále sestrojíme pro libovolný kardinál Λ úplný metrický prostor který nemá Lipschitzovskou RP(Λ, Λ) vlastnost. Pro připad spočetného kardinálu sestrojíme úplný metrický prostor, pod názvem skein space, se silnější vlastností než je pouhá negace RP(ω0, ω0). Pro tento příklad platí, že žádná alspoň vouprvková separabilní podmnožina není jeho lipschitzovským retraktem.Nakonec též provedeme nelineární zobecnění výsledku Heinricha a Mankiewicze. Ukážeme, že pro libovolný metrický prostor M , každá podmnožina je obsažena ve větší podmnožině stejné hustoty, pro níž existuje lineární extenzní operátor pro prostor lipschitzovských funkcí. Since the inception of Banach Space Theory, the study of complemented and uncomplemented subspaces of Banach spaces has been one of the main themes of the area. Specifically, in non-separable Banach spaces, there have been many efforts in constructing a theoretical framework to describe the linear complementation structure of Banach spaces. Classical concepts such as the Separable Complementation Property, Projectional Resolutions of the Identity, and the Plichko Property have been and continue to be studied in this area.Similarly, Lipschitz maps between Banach spaces have also played a main role in the development of the theory. Questions such as the Lipschitz classification of Banach spaces, differentiability of Lipschitz maps, or the existence of Lipschitz retractions onto subsets and subspaces of Banach spaces, have been and continue to be active topics of research with a wealth of results and applications.In this thesis we analyse the Lipschitz retractional structure of non-separable metric and Banach spaces, as an analogous theory to the linear complementation one in Banach spaces. We also discuss the connection of this topic with the ongoing program to study the structure of Lipschitz-free Banach spaces, and to the problem of finding bounded linear extension operators for Lipschitz functions.First, we generalize some classical tools of the linear theory to the non-linear setting: We define the concept of Lipschitz retractional skeletons as a generalization of Projectional skeletons. As applications of these concepts, we show that the Lipschitz-free space of a Plichko Banach space is again Plichko. We also use Lipschitz retractional skeletons to characterize metric spaces whose Lipschitz-free spaces enjoy the Plichko property witnessed by Dirac measures, and we show that the Lipschitz-free space of any R-tree is 1-Plichko witnessed by molecules.Next, we pass on to defining the (α, β) Lipschitz Retraction Property (Lipschitz RP(α, β) for short) for a pair of infinite cardinals α≤β. These are the non-linear analogues to the classical Complementation Properties. We observe that C(K) spaces enjoy the Lipschitz RP(ω0, ω0), which in turn implies that their associated Lipschitz-free space satisfy the Separable Complementation Property. As a continuation of the previous study, we construct, for every infinite cardinal Λ, a complete metric space which fails the Lipschitz RP(Λ, Λ). In the countable case, we are able to produce a complete metric space, called the skein space, with a stronger property than the negation of the Lipschitz RP(ω0, ω0): Every separable subset of the skein space with at least two points fails to be a Lipschitz retract.Finally, we generalize a result of Heinrich and Mankiewicz to the non-linear setting, by showing that for an metric space M, every subset is contained in another subset of the same density character which admits a bounded linear extension operator for the space of Lipschitz functions.
Zobrazit/ otevřít
Kolekce
- Disertační práce - 13000 [700]