Asymptotické metody a jejich užití při řešení diferenciálních rovnic

Abstract

Bakalářská práce se věnuje asymptotickým metodám a jejich použití při řešení diferenciálních rovnic. Práce je rozdělena na dvě kapitoly. První kapitola obsahuje teoretický úvod do asymptotických řad a dále pokračuje popisem vybraných asymptotických metod. Konkrétně se jedná o metodu dominantní rovnováhy, dále metodu získávání lokální aproximace řešení v podobě asymptotické řady a nakonec metodu aproximace řešení pomocí perturbační teorie. Druhá kapitola se zaměřuje na demonstraci užití perturbační teorie na třech konkrétních příkladech. Prvním příkladem je úloha na vlastní čísla konkrétní matice. Tato úloha je v druhém příkladě rozšířena a vyřešena pro matici obecnou. Jako třetí příklad pak vystupuje řešení homogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Všechny tyto úlohy jsou zde detailně vyřešeny.

The bachelor's thesis focuses on asymptotic methods and their applications in solving differential equations. The thesis is divided into two chapters. The first chapter provides a theoretical introduction to asymptotic series and continues with a description of selected asymptotic methods. In particular, it covers the method of dominant balance, the method of obtaining a local approximate solution in the form of asymptotic series and the method of aproximation solution using perturbation theory. The second chapter demonstrates the application of perturbation theory through three specific examples. The first example is an eigenvalue problem of a particular matrix. This problem is further expanded and solved for a general matrix in the second example. The third example involves solving a homogeneous linear second-order differential equation. All these problems are thoroughly solved in detail.