Konstrukce počátečních dat pro časový vývoj Einsteinových rovnic

Abstract

Existuje jen málo analytických řešení Einsteinových rovnic. Při zkoumání naprosté většiny astrofyzikálně zajímavých situací se při jejich řešení proto musíme uchýlit k aproximačním metodám. V takových případech, kdy je gravitační pole velmi silné, nebo kdy nevykazuje žádnou zvláštní symetrii, využíváme nástrojů numerické relativity. V této práci nejprve předložíme stručný úvod do matematického aparátu potřebného pro studium obecné teorie relativity. Následně využijeme topologických vlastností globálně hyperbolického prostoročasu a probereme možnosti jeho foliace do prostorových nadploch dimenze tři. Dále odvodíme standardní ADM formulaci Einsteinových rovnic, totiž jejich přepis do podoby časového vývoje jistých tenzorových polí na třírozměrné varietě. Zvláště se zaměříme na ty z rovnic, které představují vysoce netriviální vazby, které musí daná pole v každém čase splňovat. Na závěr představíme základní metody řešení těchto vazeb, tj. metody konstrukce počátečních dat.

There exist only few analytical solutions to Einstein’s equations. When exploring most of the astrophysically interesting setups, we need to rely on approximative methods. In such cases, when the gravitational field is very strong or does not show any particular symmetry, we make use of the tools of numerical relativity. Here, we first present an introduction into the mathematical preliminaries necessary for the study of general relativity. We then exploit the topological features of a globally hyperbolic spacetime and look into the possibilities of its foliation into three dimensional hypersurfaces. Next, we derive the standard ADM formulation of Einstein’s equation, i. e. rewriting thereof as a time evolution of certain tensor fields on a three dimensional manifold. In particular, we focus on those equations which represent the highly nontrivial constraints that the fields need to satisfy at all times. Finally, we propose basic methods of solving those constraints, that is, we construct the initial data.