Show simple item record

Using Monodromy to Simplify Polynomial Systems



dc.contributor.advisorPajdla Tomáš
dc.contributor.authorViktor Korotynskiy
dc.date.accessioned2020-06-18T22:52:55Z
dc.date.available2020-06-18T22:52:55Z
dc.date.issued2020-06-18
dc.identifierKOS-960824033205
dc.identifier.urihttp://hdl.handle.net/10467/88205
dc.description.abstractExistuje mnoho problemů v počítačovém vidění, robotice, statistice, biologii, které vyžadují řešení soustav polynomiálních rovnic. Každá formulace problému pomocí polynomiálních rovnic má neznámé (které se snážíme vypočítat) a parametry (které definují určitou instanci problému). Například, v minimálních problemech v počítačovém vidění, neznámé a parametry reprezentují relativní pozice kamer a měření z obrázků. Vyřešit problém znamená vypočítat neznáme pro zadané parametry. Nesnažíme se ale najít vzorce které vyjádří neznámé jako algebraické funkce v parametrech kvůli tomu že je to obvykle obtižné udělat nebo protože tyhle vzorce jsou obrovské. Místo toho my jen řešíme konkretní instance problému, t.j. vypočítáme neznáme pro konkretní zadané parametry. Může se stát že problém má symetrie. To znamená že existuje nějaká racionalní funkce vůči akci které je množina řešení soustavy invariantní. Obvykle symetrie jsou způsobeny speciální formulací problému. Například, v počítačovém vidění, existence symetrií je způsobená určitou geometrickou konstrukci sestavající z bodů, přímek a rovin: tato konstrukce se dá změnit bez porušení relací které tuto konstrukci definují. V robotice, symetrie inverzní kinematické úlohy jsou způsobené speciální konstrukcí manipulátoru. Když problém má symetrie, dokážeme je použit pro zjednodušení problému: různá řešení ve stejné orbitě vůči akci symetrie se mohou zkolabovat do jednoho bodu -- řešení redukovaného problému. Jinými slovy, z originálního problému dokážeme zkonstruovat redukovaný problém s menším počtem řešení který je jednodušší pro výpočet. V 9-té kapitole ukážeme jak se dají detekovat symetrie v minimálních problemech v počítačovém vidění. Po nalezení symetrií můžeme zkonsnruovat redukovaný problém, což je obecně velmi náročný. Věříme, že v počítačovém vidění redukovaný problém se dá nalézt ad hoc.cze
dc.description.abstractThere are many problems in computer vision, robotics, statistics, biology, which require solving systems of polynomial equations. Every formulation of the problem by polynomial equations contains unknowns (which we are trying to determine) and parameters (which define the certain instance of the problem). For example, in computer vision, when minimal problems are formulated, the unknowns and parameters represent the camera relative poses and image measurements, respectively. Solving the problem means determining the unknowns given the parameters. However, we don't try to find a closed-form expression of unknowns as the functions of parameters since it might be very hard to do that for many problems, or because these expressions are very huge. Instead we just solve certain instances of the problem, i.e. we find the unknowns for the given values of parameters. It may happen that the problem has symmetries. It means that there is a multivariate vector rational function such that the solution set of every instance of the problem is invariant under the action of this function. Usually, the symmetries are caused by a special formulation of the problem. For example, in computer vision, the existence of symmetries is caused by a certain geometric construction consisting of points, lines and planes: we may change this construction (i.e. the positions of points, lines and planes) without violating the relations which define this construction. In robotics, the symmetries of the inverse kinematics are caused by a special construction of the manipulator. If the problem has symmetries we can use them to simplify the problem: different solutions of every instance of the problem which are in the same orbit under the symmetry can be collapsed into one element -- the solution of the instance of the reduced problem. In other words, the reduced problem with less number of solutions can be constructed from the original problem, and, as a consequence, is easier to solve. In Chapter 9 we show how the symmetries of minimal problems in computer vision can be detected using numerical algebraic geometry. In general, the method described there can be applied to any practical problem which can be formulated by polynomial equations. After the symmetries are found, the reduced problem can be constructed. However, this is a hard task in general. We believe that in computer vision the reduced problem can be found ad hoc.eng
dc.publisherČeské vysoké učení technické v Praze. Vypočetní a informační centrum.cze
dc.publisherCzech Technical University in Prague. Computing and Information Centre.eng
dc.rightsA university thesis is a work protected by the Copyright Act. Extracts, copies and transcripts of the thesis are allowed for personal use only and at one?s own expense. The use of thesis should be in compliance with the Copyright Act http://www.mkcr.cz/assets/autorske-pravo/01-3982006.pdf and the citation ethics http://knihovny.cvut.cz/vychova/vskp.htmleng
dc.rightsVysokoškolská závěrečná práce je dílo chráněné autorským zákonem. Je možné pořizovat z něj na své náklady a pro svoji osobní potřebu výpisy, opisy a rozmnoženiny. Jeho využití musí být v souladu s autorským zákonem http://www.mkcr.cz/assets/autorske-pravo/01-3982006.pdf a citační etikou http://knihovny.cvut.cz/vychova/vskp.htmlcze
dc.subjectmonodromiecze
dc.subjectsymetrie v polynomiálních soustaváchcze
dc.subjectzjednodušení polynomiálních soustavcze
dc.subjectsymetrie v minimálních problemech v počítačovém viděnícze
dc.subjectGalois/monodromy grupacze
dc.subjectmonodromyeng
dc.subjectsymmetries in polynomial systemseng
dc.subjectpolynomial system simplificationeng
dc.subjectsymmetries in minimal problems in computer visioneng
dc.subjectGalois/monodromy groupeng
dc.titlePoužití monodromie ke zjednodušení polynomiálních soustavcze
dc.titleUsing Monodromy to Simplify Polynomial Systemseng
dc.typediplomová prácecze
dc.typemaster thesiseng
dc.contributor.refereeKúkelová Zuzana
theses.degree.disciplineRobotikacze
theses.degree.grantorkatedra kybernetikycze
theses.degree.programmeKybernetika a robotikacze


Files in this item





This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record