O odhadech topologické entropie intervalových zobrazení

Abstract

Práce pojednává o dynamických systémech a zvláště o diskrétních dynamických systémech v jedné dimenzi. Obsahuje stručný historický přehled důležitých výsledků vztahujících se k jednomu z aspektů dynamických systémů - topologické entropii - a dva původní články, které se zabývají odhady topologické entropie pro speciální intervalová zobrazení. Naše netriviální výsledky rozšiřují současné pochopení topologie (topologické entropie) spojitých zobrazení v jedné dimenzi.V prvním článku zkoumáme spojitá počástech afinní intervalová zobrazení se spočetně mnoha intervaly monotonie a která zachovávají Lebesgueovu míru. Zejména konstruujeme taková zobrazení, která mají uzlové body (bod $x$, kde $D^{+}f(x)=D^{-}f(x)=\infty$ a $D_{+}f(x)=D_{-}f(x)=-\infy$) a odhadujeme jejich topologickou entropii. Náš hlavní výsledek je následující: k libovolnému $\varepsilon>0$ konstruujeme spojité intervalové zobrazení $g=g_{\varepsilon}$ takové, že (i) $g$ zachovává Lebesgueovu míru; (ii) uzlové body zobrazení $g$ jsou husté v $[0,1]$ a pro $G_{\delta}$ hustou množinu bodů $z$ je vzorová množina $g^{-1}(\{z\})$ nekonečná; (iii) $h_{{\rm top}}(g)\leq\varepsilon+\log2$. V druhém článku studujeme speciální konjugační třídu $\mathcal F$ spojitých po částech monotonních intervalových zobrazení se spočetně mnoha intervaly monotonie, která jsou locally eventually onto (leo) a která mají společnou hodnotu topologické entropie $\log9$. Ukazujeme, že $\mathcal F$ obsahuje po částech afinní zobrazení $f_{\lambda}$ s konstantním sklonem $\lambda$ právě tehdy, když $\lambda\ge 9$. Náš výsledek upřesňuje známý fakt, že pro po částech afinní intervalová leo zobrazení se spočetně mnoha intervaly monotonie a konstantních sklonů $\pm\lambda$, není topologická (měrově-teoretická) entropie určena hodnotou $\lambda$. Uvažujeme také zobrazení ze třídy $\mathcal F$, která zachovávají Lebesgueovu míru. Ukazujeme, že některá z nich mají uzel v jejich pevném bodě $1/2$.

The thesis deals with dynamical systems and specially with discrete dynamical systems in dimension one. It contains a short historical review of important results related to an aspect of dynamical systems - topological entropy - and of two original papers dealing with estimations of the entropy for special interval maps. Our nontrivial results extend current knowledge of topology (topological entropy) of continuous maps in dimension one.In the first paper we investigate continuous piecewise affine interval maps with countably many laps that preserve the Lebesgue measure. In particular, we construct such maps having knot points (a point $x$ where $D^{+}f(x)=D^{-}f(x)= \infty$ and $D_{+}f(x)=D_{-}f(x)=-\infty$) and estimate their topological entropy. Our main result is: to any $\varepsilon>0$ we construct a continuous interval map $g=g_{\varepsilon}$ such that (i) $g$ preserves the Lebesgue measure; (ii) knot points of $g$ are dense in $[0,1]$ and for a $G_{\delta}$ dense set of $z$'s, the set $g^{-1}(\{z\})$ is infinite; (iii) $h_{{\rm top}}(g)\leq\varepsilon+\log2$.In the second paper we study a special conjugacy class $\mathcal F$ of continuouspiecewise monotone interval maps: with countably many laps, which are locally eventually onto and have common topological entropy $\log9$. We show that $\mathcal F$ contains a piecewise affine map $f_{\lambda}$ with a constant slope $\lambda$ if and only if $\lambda\ge 9$. Our result specifies the known fact that for piecewise affine interval leo maps with countably many pieces of monotonicity and a constant slope $\pm\lambda$, the topological (measure-theoretical) entropy is not determined by $\lambda$. We also consider maps from the classe $\mathcal F$ preserving the Lebesgue measure. We show that some of them have a knot point in its fixed point $1/2$.