Variační přístup k popisu obecně zatíženého pružného prutu

Abstract

Hlavním cílem této práce je odvození prutového modelu pro obecně zatížený prut pomocí variačních principů. Za tímto účelem vyjádříme pole posunů pomocí sedmi neznámých funkcí závislých pouze na souřadnici měřené podél osy prutu. Přitom využijeme danou deplanační funkci závislou na zbylých dvou kartézských souřadnicích. Míra deplanace (ve smyslu proměnného součinitele násobícího hodnoty deplanační funkce podél střednice prutu) je považována za jednu z neznámých funkcí, spolu s třemi posuny střednice prutu a třemi rotacemi průřezu. S uvážením tohoto tvaru pole posunů odvodíme za použití Lagrangeova principu minima potenciální energie sedm řídících rovnic prutového modelu (včetně odpovídajících okrajových podmínek) a identifikujeme vnitřní síly působící na prutu. Ukazuje se, že tento přímočarý postup vede k nesprávnému rozložení smykových napětí na prutu a tím ke zkreslení tuhostí ve smyku a kroucení. Lepší výsledky lze očekávat, pokud odvodíme řídící rovnice modelu pomocí Hellingerova-Reissnerova variačního principu, který pracuje s nezávislými aproximacemi pole posunutí a pole napětí. Při volbě aproximace pro smyková napětí se berou v úvahu Cauchyho rovnice rovnováhy trojrozměrného kontinua.

The main goal of this study is to derive a beam model of a generally loaded bar using variational principles. To achieve this goal, we describe the displacement field using seven unknown functions that depend only on the axial coordinate, and we incorporate a given warping function that depends on the remaining two Cartesian coordinates. The amount of warping (in the sense of a variable coefficient multiplying the values of the warping function along the centerline of the bar) is considered as one of the unknown functions, along with three centerline displacements and three sectional rotations. Considering this form of the displacement field we derive seven governing equations of the beam model (as well as the corresponding boundary conditions) using the Lagrange principle of minimum potential energy and we identify the internal forces arising in the beam. It turns out that this straightforward procedure leads to an inappropriate distribution of shear stresses in the beam and thus to inaccurate stiffnesses in shear and torsion. Better results can be expected if we derive the governing equations using the Hellinger-Reissner variational principle, which deals with independent approximations of the displacement and stress fields. The assumed distribution of shear stresses is based on the Cauchy equilibrium equations of a three-dimensional continuum.