Symetrie diferenciálních rovnic a kvalitativní chování difuze

Abstract

V práci se nejprve seznámíme se symetriemi obyčejných diferenciálních rovnic 1. řádu a ukážeme si, jak je možné jich využít k nalezení řešení těchto rovnic. Poté tuto metodu rozšíříme na obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů ve tvaru y(n) = f (x, y, y', y'',?, y(n-1)). V další části se budeme zabývat speciálními druhy obyčejných diferenciálních rovnic 1. řádu zmíněných v kurzu Diferenciální rovnice v druhém ročníku základního studia na Fakultě jaderné a fyzikálně inženýrské při Českém vysokém učení technickém v Praze. Nakonec se zmíníme o difuzní rovnici, speciálně o nelineární, pro kterou je známa transformace vedoucí k jejímu řešení. V další práci se totiž budeme snažit tuto transformaci získat pomocí metody symetrií pro parciální diferenciální rovnice.

In the beginning of the bachelor thesis the symmetries of first-order ordinary differential equations are studied and it is shown how symmetries can be used to find solutions of these equations. Subsequently this method is extended to higher-order ordinary differential equations having the form of y(n) = f (x, y, y', y'',?, y(n-1)). In the next part we deal with special types of first-order ordinary differential equations mentioned in course Differential equations in the second year at Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering at Czech Technical University in Prague. Finally the diffusion equation, particularly non-linear diffusion equation, is mentioned, for which a transformation leading to solving this equation is known. In the future we will try to find this transformation by using symmetry method for partial differential equatins.