Lock-chart solving

Abstract

Lock-chart solving (also known as master key system solving) is a process for designing mechanical keys and locks so that every key can open and be blocked in a user-defined set of locks. This work is an algorithmic study of lock-chart solving. Literature on this topic [34, 38, 44, 53] has established that the extension variant of the problem is NP-complete, reformulated lock-chart solving as a constraint satisfaction problem (CSP) with set variables, applied a local search algorithm, and defined a symmetry-breaking algorithm using automorphisms. However, the otherwise standard decision problem with a discrete search space has a twist. After a lock-chart is solved and its solution is fixed, new keys and locks may be added as a part of an extension, and the original solution should be prepared for this. In the first formal treatment of extensions, several scenarios are proposed, and effects on lock-chart solving algorithms are discussed. First, we formalise lock-chart solving. 6 variants of lock-charts and 4 constraint frameworks of increasing generality and applicability to real-world problems are formulated. Their hierarchy is used to extend the classification of lock-chart solving problems into computational complexity classes. A close relationship between the most realistic framework and the Boolean satisfiability problem (SAT) is established. Mechanical profiles are shown to express NP-complete problems as a complement to the previous result on the extension problem variant. We give the first proof that diagonal lock-charts (systems with only one master key) can be solved in P using an algorithm known as rotating constant method. The practical part proposes several algorithms for lock-chart solving. The problem is translated into SAT, into CSP (with standard variables) and partly into the maximum independent set problem. The SAT translation inspires a model-counting algorithm tailored for lock-charts. Finally, we describe a customised depth-first-search (DFS) algorithm that uses the model-counter for pruning non-perspective parts of the search space. In the empirical evaluation, CSP and the customised DFS improve the performance of the previous automorphism algorithm.

Rˇ ešením systému generálního a hlavních klícˇu° (SGHK) se myslí návrh uzávˇer °u mechanických klíˇc °u a blokovacích prvk°u zámk° u. Návrh musí respektovat požadavek, aby každý klíˇc v systému otevíral uživatelem zadanou množinu zámk° u. Tato práce poskytuje algoritmickou analýzu SGHK. Relevantní literatura [34, 38, 44, 53] již dokázala jednu variantu problému jako NP-úplnou, pˇreformulovala problém jako programování s omezujícími podmínkami (CSP) s použitím množinových promˇenných, aplikovala simulované žíhání a definovala symetrie stavového prostoru pomocí automorfismu. Jinak bˇežná úloha s diskrétním stavovým prostorem má háˇcek. Zákazník m° uže objednat tzv. rozšíˇrení – pˇridání nových klíˇc °u a zámk°u do již vyrobeného SGHK. Prvotní ˇrešení proto musí poˇcítat s omezujícími podmínkami, jejichž pˇresná forma není v dobˇe návrhu známa. Tato práce je dle našich znalostí první formální studí problému rozšíˇrení SGHK. Práce nejdˇríve formalizuje pojem SGHK v nˇekolika variantách a navrhuje ˇctyˇri zp° usoby formalizace omezujících podmínek od nejjednodušší po nejrealistiˇctˇejší. Hierarchie rozhodovacích úloh je využita pro klasifikaci do tˇríd výpoˇcetní složitosti. Nejdˇríve je popsána úzká vazba na úlohu splnitelnosti výrokových formulí (SAT). Mechanické profily se ukazují dostateˇcnˇe expresivní pro pˇreklad NP-úplných úloh, což doplˇ nuje již existující výsledek. Práce obsahuje první d°ukaz pˇríslušnosti diagonální úlohy (SGHK s generálním klíˇcem, ale bez dalších hlavních klíˇc ° u) do tˇrídy P pomocí tzv. rotating constant method. Praktická ˇcást práce navrhuje nˇekolik algoritm °u pro ˇrešení SGHK. Problém je pˇreložen na SAT, na CSP a jeho ˇcást na úlohu hledání maximální nezávislé množiny. Pro poˇcítání poˇctu klíˇc °u spl ˇ nující omezující podmínky je použito dynamické programování a princip inkluze a exkluze. Závˇerem je popsán upravený algoritmus prohledávání do hloubky (DFS), který proˇrezává neperspektivní ˇcásti stavového prostoru pomocí poˇcitadla klíˇc ° u. V emprickém porovnání CSP a upravené DFS algoritmy prokázaly pˇrínos stávajícímu algoritmu využívající automorfismy.