Numerické řešení úlohy přibližně-optimálního řízení

Abstract

Teorie optimálního řízení je velmi studovaná partie matematiky, která nachází aplikace v různých oblastech reálného života. Na začátku definujeme úlohu optimálního řízení a s ní související pojmy. Dále představíme několik důležitých vět z matematické analýzy, které využijeme v důkazu zjednodušené verze nutné a postačující podmínky principu maxima. Poté představíme základní poznatky k teorii přibližně?optimálního řízení. Následně přejdeme k numerické části práce, kde představíme základní numerické metody a poté iterativní algoritmus k nalezení přibližně?optimálního řízení, převzatý z [7]. Zde se také budeme věnovat optimalizaci algoritmu ve smyslu rychlosti konvergence. Nakonec tento algoritmus aplikujeme na několik vzorových příkladu a budeme porovnávat optimální řešení, vypočtené analyticky, s řešením numerickým. Výsledky a vizualizace těchto porovnání jsou modelovány v prostředí Matlab.

Optimal control theory is an interesting field of mathematics which finds applications in different parts of real life. The Optimal control problem and common terms are defined at the beginning. Then some important theorems from convex analysis and calculus, which are useful in a proof of a particular case of the necessary condition for maximum principle are introduced. Also sufficient condition for optimal control problem is proved. Then basics of the theory of near?optimal control is introduced. In the following chapter numerical part of this work with fundamental numerical methods and iterative algorithm for solution of near?optimal control problem from [7] is given. Rate of convergence is also discussed in this section. Finally, severe examples are solved numerically and the analytical solution is compared with the numerical one. Computations and visualisation of these results are done in Matlab.