Numerické metody pro modelování parametrických ploch v počítačové grafice

Abstract

V této práci se zabýváme diskretizací Laplaceova-Beltramiho operátoru na neuspořádaných sítích. Je popsán úvod do diferenciální geometrie potřebný pro zadefinování Laplaceova-Beltramiho operátoru. Následně je vysvětlena nutná část diskrétní diferenciální geometrie. S pomocí ní je odvozen vzorec pro diskretizovaný Laplaceův-Beltramiho operátor. Za použití tohoto vzorce je odvozeno numerické schéma pro úlohu povrchové difuze. Nakonec je provedena výpočetní studie, ve které toto schéma aplikujeme na konkrétní plochy. Je popsán účinek úlohy povrchové difuze na různé tvary ploch. Program implementující úlohu je napsán v C++ za použití knihovny TNL.

In this paper, we study the discretization of the Laplace-Beltrami operator on unordered meshes. An introduction to differential geometry needed to define the Laplace-Beltrami operator is described. Then the necessary part of discrete differential geometry is explained. With its help, a formula for the discretized Laplace-Beltrami operator is derived. Using this formula, a numerical scheme for the surface diffusion problem is derived. Finally, a computational study is performed in which we apply this scheme to specific surfaces. The effect of the surface diffusion problem on different surface shapes is described. The program implementing the problem is written in C++ using the TNL library.