Výpočet minimaxových strategií v nekonvexně-nekonkávních hrách

Abstract

Tato práce zkoumá různé koncepty Nashových ekvilibrií dvouhráčových her s nulovým součtem a kompaktními prostory strategií, přičemž ztrátové funkce mohou být nekonvexně-nekonkávní. Diskutujeme teoretické vlastnosti lokálních a aproximovaných Nashových ekvilibrií a jejich podmínky optimality. Hlavním zaměřením práce je koncept min-max kritického bodu, který představuje řešení prvního řádu rozšiřující Nashovo ekvilibrium. Dokazujeme některé charakteristiky min-max kritického bodu. Představujeme implementaci algoritmu StayOnTheRidge pro nalezení min-max kritického bodu v jazyce Julia a porovnáváme kvalitu výsledků s jinými algoritmy na různých příkladech. Dále popisujeme rozšíření algoritmu STON’R na hyperobdélník a je nastíněna výzva zobecnění algoritmu na obecnější množiny, jako je kartézský součin simplexů. Teoretickým výsledkem této práce je zavedení pojmu zobecněného min-max kritického bodu, který rozšiřuje koncept min-max kritického bodu na lokálně Lipschitzovské funkce. Dokazujeme existenci řešení odpovídající zobecněné variační nerovnice a ukazujeme některé vlastnosti zobecněných min-max kritických bodů.This thesis explores various concepts extending Nash equilibrium in two-player zero-sum games with compact strategy spaces and possibly nonconvex-nonconcave loss functions. We discuss the theoretical characteristics of local and approximate Nash equilibria, as well as their optimality conditions. The main focus of the thesis is on the min-max critical point, which is a first-order solution concept extending Nash equilibrium. We prove some characteristics of the min-max critical point. We propose the implementation of the StayOnTheRidge algorithm for finding min-max critical points in Julia and compare the results of the algorithm with the results obtained by other algorithms on various examples. We also present an extension of the STON’R to hyperrectangle and discuss a general challenge of the algorithm’s modification to operate on the cartesian product of simplices. The theoretical result of this thesis is the introduction of the concept of the generalized min-max critical point, which extends the min-max critical point to locally Lipschitz functions. We prove the existence of the solution to the corresponding generalized variational inequality and show some properties of the generalized min-max critical points.