Algebraické a mírově-teoretické vlastnosti struktur blízkých k Booleovým algebrám

Abstract

Téma této disertační práce je studium konečně aditivních měr na strukturách blízkých Booleovým algebrám. Ve formulaci přijaté v teoretické fyzice jde o vyšetřování stavů na kvantových logikách. Přínos této disertační práce je obsažen v pěti přiložených článcích. V prvním z těchto článků se autor zabývá stavy s hodnotami v obecném tělese charakteristiky nula. Cílem je zobecnit klasickou Hornovu-Tarského větu o rozšiřování stavů (HT). Autor částečně uspěl v některých speciálních případech, ale obecně se ukázalo, že přirozená reformulace věty HT pro tělesa neplatí (kromě znaménkové formulace HT, kde se podařilo původní reálně hodnotovou HT zobecnit na tělesovou formulaci). V druhém článku autor vyšetřuje ortomodulární svazy, které dovolují zavedení symetrické diference. Tyto struktury, které jsou v současné době intenzivně studovány, byly v tomtu článku obohaceny o vhodný pojem stavu. Vznikla pak otázka, kdy se dá daný stav rozšířit na větší logiku (případně i takovou, která není množinově reprezentovatelná). Autor ukázal, že stavová rozšíření jsou možná pokud je stav definován na Booleově algebře. V obecnosti ani logiky velice blízké Booleovským stavová rozšíření nedovolují. Ve třetím článku autor dále analyzoval množinově reprezentovatelné logiky. Jako hlavní výsledky lze jmenovat kritérium pro rozšiřování stavů na Gudderových logikách a příspěvek k jistým fyzikálně motivovaným otázkám pro klasickou hustotní logiku (určitý nový pohled na Banachovy limity). Ve čtvrtém článku se autor zabývá pravděpodobnostně motivovaným pojmem Jauchova-Pironova stavu. Autor nalezl nutnou a postačující podmínku pro rozšiřování stavů definovaných na Booleově algebře a zachovávající při rozšíření Jauchovu-Pironovu vlastnost. Aplikací tohoto výsledku je dokázána věta o rozšiřování Jauchových-Pironových stavů na projektorovou logiku L(H). V pátém článku je zavedeno jisté nekonečné rozšíření Gudderovy logiky. V poněkud překvapivém kontrastu s konečnou Gudderovou logikou je dokázáno, že tyto zobecněné logiky dovolují rozšiřování stavů na potenční množinu.

The theme of the thesis is, in general terms, a study of finitely additive measures on the structures similar to Boolean algebras. Formulating this theme in the language of theoretical physics, it is an investigation of states on (algebraic) quantum logic. The contribution of the thesis is based on five papers included in the thesis. In the first paper, the author considers field-valued states for the fields of characteristics zero. The intention is to generalize the classic Horn-Tarski state extension theorem (HT). The author partially succeded in special cases but in general it was shown that a natural formulation of HT cannot be obtained (except for the signed form of HT where the original real-valued HT result allows for the field-valued formulation). In the second paper, the author investigated the orthomodular lattices that can be endowed with a symmetric difference. This orthomodular lattices, recently intensely studied, was enriched in this paper with an appropriate notion of state. Then a question was asked when, given a state, one can extend it over a bigger (possibly non-set-representable) logic. The author showed that this state extension is possible when the ``domain'' logic is a Boolean algebra, but in general even ``almost Boolean'' logics do not allow for a state extension. In the third paper, the author further analyzed the set-representable logics. Main results obtained are a state extension criterion for Gudder's logics and a clarification of certain physically motivated questions on the classic density logic (a certain new view of Banach limits). The fourth paper deals with the quantum-probabilistically justified notion of Jauch-Piron states. The author found a necessary and sufficient condition for the extension of states, as Jauch-Piron states, defined on Boolean algebras. This result, as an application, establishes a Jauch-Piron state extension over the projection logic L(H). The fifth paper brings an infinite generalization of Gudder's logics and shows, in a slightly surprising contrast to Gudder's logics, that the states on these generalized logics allow for the extension over the power set.